( 10 ) (int )_(0)^dfrac (pi {4)}(tan )^2theta dtheta ;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角恒等式简化被积函数的能力，以及基本积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 三角恒等式转换：将$\tan^2\theta$转换为$\sec^2\theta -1$，简化积分形式。
2. 分项积分：分别对$\sec^2\theta$和$1$进行积分，利用基本积分公式快速求解。
3. 代入上下限：注意计算上下限对应的函数值，避免代数错误。

破题关键点：

• 识别$\tan^2\theta$的恒等变形，这是简化积分的关键步骤。
• 正确应用积分公式：$\int \sec^2\theta \, d\theta = \tan\theta + C$，$\int 1 \, d\theta = \theta + C$。

步骤1：利用三角恒等式变形
根据三角恒等式$\tan^2\theta = \sec^2\theta -1$，原积分可变形为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2\theta -1) \, d\theta$

步骤2：分项积分
将积分拆分为两部分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2\theta \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, d\theta$

步骤3：逐项计算

1. 第一项积分：
   $\int \sec^2\theta \, d\theta = \tan\theta + C$，因此：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2\theta \, d\theta = \tan\theta \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$

2. 第二项积分：
   $\int 1 \, d\theta = \theta + C$，因此：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, d\theta = \theta \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

步骤4：合并结果
将两部分结果相减：
$1 - \frac{\pi}{4}$