题目
4.求抛物线 ^2=2px 及其在点 (dfrac (p)(2),p) 处的法线所围成的图形的面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求抛物线在点 $(\dfrac {p}{2},p)$ 处的切线斜率
抛物线方程为 ${y}^{2}=2px$，对 $x$ 求导，得到 $2yy'=2p$，即 $y'=\dfrac {p}{y}$。在点 $(\dfrac {p}{2},p)$ 处，$y'=1$，因此切线斜率为 $1$。
步骤 2：求法线方程
由于切线斜率为 $1$，法线斜率为 $-1$。因此，法线方程为 $y-p=-1(x-\dfrac {p}{2})$，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}p$。
步骤 3：求抛物线与法线所围成的图形的面积
抛物线与法线所围成的图形的面积可以通过积分求得。积分的上下限为抛物线与法线的交点，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}p$ 与 ${y}^{2}=2px$ 的交点。将法线方程代入抛物线方程，得到 $(-x+\dfrac {3}{2}p)^{2}=2px$，解得 $x=0$ 或 $x=p$。因此，积分的上下限为 $0$ 和 $p$。积分表达式为 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-\dfrac {1}{2}{y}^{2})dx$，其中 $y^{2}=2px$。将 $y^{2}=2px$ 代入积分表达式，得到 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-\dfrac {1}{2}(2px))dx$。计算积分，得到 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-xp)dx={[ -\dfrac {1}{2}{x}^{2}+\dfrac {3}{2}px-\dfrac {1}{2}px^{2}] }^{p}_{0}=\dfrac {16}{3}{p}^{2}$。
抛物线方程为 ${y}^{2}=2px$，对 $x$ 求导，得到 $2yy'=2p$，即 $y'=\dfrac {p}{y}$。在点 $(\dfrac {p}{2},p)$ 处，$y'=1$，因此切线斜率为 $1$。
步骤 2：求法线方程
由于切线斜率为 $1$，法线斜率为 $-1$。因此，法线方程为 $y-p=-1(x-\dfrac {p}{2})$，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}p$。
步骤 3：求抛物线与法线所围成的图形的面积
抛物线与法线所围成的图形的面积可以通过积分求得。积分的上下限为抛物线与法线的交点，即 $y=-x+\dfrac {3}{2}p$ 与 ${y}^{2}=2px$ 的交点。将法线方程代入抛物线方程，得到 $(-x+\dfrac {3}{2}p)^{2}=2px$，解得 $x=0$ 或 $x=p$。因此，积分的上下限为 $0$ 和 $p$。积分表达式为 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-\dfrac {1}{2}{y}^{2})dx$，其中 $y^{2}=2px$。将 $y^{2}=2px$ 代入积分表达式，得到 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-\dfrac {1}{2}(2px))dx$。计算积分，得到 $A={\int }_{0}^{p}(-x+\dfrac {3}{2}p-xp)dx={[ -\dfrac {1}{2}{x}^{2}+\dfrac {3}{2}px-\dfrac {1}{2}px^{2}] }^{p}_{0}=\dfrac {16}{3}{p}^{2}$。