求幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac (ln n)(n)(x)^n 的收敛半径和收敛域.

步骤 1：求幂级数的收敛半径
首先，我们使用根值判别法来求幂级数的收敛半径。根值判别法的公式为：
$$
\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
$$
其中，$a_n = \dfrac{\ln n}{n}x^n$。因此，我们有：
$$
\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\dfrac{\ln n}{n}x^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{\ln n}{n}}|x|
$$
由于 $\dfrac{1}{n} < \dfrac{\ln n}{n} < 1$ 对于 $n > 3$ 成立，且 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$，因此：
$$
\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{\ln n}{n}} = 1
$$
所以，幂级数的收敛半径为 $R = \dfrac{1}{\rho} = 1$。

步骤 2：讨论幂级数在 $x = \pm 1$ 处的收敛性
当 $x = 1$ 时，幂级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n}$。由于 $\dfrac{\ln n}{n} > \dfrac{1}{n}$ 对于 $n > 3$ 成立，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ 发散，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n}$ 也发散，即幂级数在 $x = 1$ 处发散。
当 $x = -1$ 时，幂级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac{\ln n}{n}$。这是一个交错级数，且 $\dfrac{\ln n}{n}$ 单调递减趋于零，因此根据莱布尼茨判别法，该级数收敛，即幂级数在 $x = -1$ 处收敛。

步骤 3：确定幂级数的收敛域
根据上述分析，幂级数在 $x = -1$ 处收敛，在 $x = 1$ 处发散，因此幂级数的收敛域为 $[-1, 1)$。