4. The singular points of the function f(z)=(sin z)/(z(z^2)+1) are

为了找到函数 $ f(z) = \frac{\sin z}{z(z^2 + 1)} $ 的奇点，我们需要确定函数分母为零的点，因为这些点会使函数趋于无穷大或未定义。函数的分母是 $ z(z^2 + 1) $。 首先，我们解方程 $ z(z^2 + 1) = 0 $： 1. $ z = 0 $ 2. $ z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm i $ 因此，函数 $ f(z) $ 的奇点是 $ z = 0 $，$ z = i $，和 $ z = -i $。 接下来，我们需要检查这些奇点的性质。奇点可以是可去奇点、极点或本性奇点。我们通过检查 $ f(z) $ 在这些点附近的 Laurent 级数展开来确定奇点的类型。 1. **在 $ z = 0 $ 处的奇点：** 我们考虑极限 $ \lim_{z \to 0} f(z) $： \[ \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z(z^2 + 1)} = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} \cdot \frac{1}{z^2 + 1} = 1 \cdot \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \] 由于极限存在且有限，$ z = 0 $ 是一个可去奇点。 2. **在 $ z = i $ 处的奇点：** 我们考虑 $ f(z) $ 在 $ z = i $ 附近的 Laurent 级数展开。函数 $ f(z) $ 在 $ z = i $ 处有一个简单极点，因为分母 $ z(z^2 + 1) $ 在 $ z = i $ 处有一个简单零点： \[ f(z) = \frac{\sin z}{z(z - i)(z + i)} \] $ z = i $ 处的留数是： \[ \lim_{z \to i} (z - i) f(z) = \lim_{z \to i} \frac{\sin z}{z(z + i)} = \frac{\sin i}{i(i + i)} = \frac{\sin i}{2i^2} = \frac{\sin i}{-2} = -\frac{\sin i}{2} \] 由于留数非零，$ z = i $ 是一个简单极点。 3. **在 $ z = -i $ 处的奇点：** 同样，我们考虑 $ f(z) $ 在 $ z = -i $ 附近的 Laurent 级数展开。函数 $ f(z) $ 在 $ z = -i $ 处有一个简单极点，因为分母 $ z(z^2 + 1) $ 在 $ z = -i $ 处有一个简单零点： \[ f(z) = \frac{\sin z}{z(z - i)(z + i)} \] $ z = -i $ 处的留数是： \[ \lim_{z \to -i} (z + i) f(z) = \lim_{z \to -i} \frac{\sin z}{z(z - i)} = \frac{\sin(-i)}{-i(-i - i)} = \frac{-\sin i}{-i(-2i)} = \frac{-\sin i}{-2i^2} = \frac{-\sin i}{-2} = \frac{\sin i}{2} \] 由于留数非零，$ z = -i $ 是一个简单极点。 因此，函数 $ f(z) = \frac{\sin z}{z(z^2 + 1)} $ 的奇点是 $ z = 0 $（可去奇点），$ z = i $（简单极点），和 $ z = -i $（简单极点）。 答案是 $\boxed{z=0, \pm i}$。