题目
24. (int )_(e)^sqrt (3x+9)dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $t = \sqrt{3x + 9}$，则 $x = \frac{t^2 - 9}{3}$，$dx = \frac{2}{3}tdt$。
步骤 2：代入
将 $t$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int e^t \cdot \frac{2}{3}t dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^t dt$，则 $du = dt$，$v = e^t$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，得到 $\int e^t \cdot \frac{2}{3}t dt = \frac{2}{3}t e^t - \int \frac{2}{3}e^t dt$。
步骤 5：简化
计算 $\int \frac{2}{3}e^t dt = \frac{2}{3}e^t$，得到 $\frac{2}{3}t e^t - \frac{2}{3}e^t + C$。
步骤 6：回代
将 $t = \sqrt{3x + 9}$ 回代，得到 $\frac{2}{3}\sqrt{3x + 9} \cdot e^{\sqrt{3x + 9}} - \frac{2}{3}e^{\sqrt{3x + 9}} + C$。
令 $t = \sqrt{3x + 9}$，则 $x = \frac{t^2 - 9}{3}$，$dx = \frac{2}{3}tdt$。
步骤 2：代入
将 $t$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int e^t \cdot \frac{2}{3}t dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^t dt$，则 $du = dt$，$v = e^t$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，得到 $\int e^t \cdot \frac{2}{3}t dt = \frac{2}{3}t e^t - \int \frac{2}{3}e^t dt$。
步骤 5：简化
计算 $\int \frac{2}{3}e^t dt = \frac{2}{3}e^t$，得到 $\frac{2}{3}t e^t - \frac{2}{3}e^t + C$。
步骤 6：回代
将 $t = \sqrt{3x + 9}$ 回代，得到 $\frac{2}{3}\sqrt{3x + 9} \cdot e^{\sqrt{3x + 9}} - \frac{2}{3}e^{\sqrt{3x + 9}} + C$。