题目
第一章 函数与极限(3)lim_(ntoinfty)(sqrt(n^2)+a^(2))/(n)=1; (4)lim_(ntoinfty)0.999...9=1.
第一章 函数与极限
(3)$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=1$; (4)$\lim_{n\to\infty}0.999\cdots9=1$.
题目解答
答案
(3) **证明**：
将表达式重写为 $\frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}}$。
对于任意 $\epsilon > 0$，取 $N = \left[ \frac{|a|}{\sqrt{2\epsilon}} \right] + 1$，当 $n > N$ 时，
\[
\left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right| = \frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} < \frac{a^2}{2n^2} < \epsilon.
\]
因此，$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = 1$。
(4) **证明**：
小数 $0.999\cdots9$（$n$个9）可表示为 $1 - \frac{1}{10^n}$。
对于任意 $\epsilon > 0$，取 $N = \left[ \log_{10} \frac{1}{\epsilon} \right] + 1$，当 $n > N$ 时，
\[
\left| \left(1 - \frac{1}{10^n}\right) - 1 \right| = \frac{1}{10^n} < \epsilon.
\]
因此，$\lim_{n \to \infty} 0.999\cdots9 = 1$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(3) & 1 \\
(4) & 1 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：
这两道题均考查数列极限的证明方法，涉及极限的定义和代数变形技巧。
- 第（3）题：通过分子分母同除以$n$，将表达式转化为根号形式，利用极限的运算性质和不等式放缩证明极限为1。
- 第（4）题：将无限循环小数转化为分数形式，结合对数函数确定$N$的取值，验证极限为1。
解题核心思路：
- 第（3）题：通过变形消去根号中的高阶项，利用$\frac{a^2}{n^2}$的衰减性证明极限。
- 第（4）题：将小数表示为$1 - \frac{1}{10^n}$，通过指数函数的快速衰减性完成证明。
第（3）题
关键步骤：
- 分子分母同除以$n$：
$\frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}}.$ - 分析表达式与1的差：
$\left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right|.$ - 分子分母有理化：
$\frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1}.$ - 放缩分母：
当$n > |a|$时，$\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1 > 2$，因此：
$\frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} < \frac{a^2}{2n^2}.$ - 确定$N$：
令$\frac{a^2}{2n^2} < \epsilon$，解得$n > \frac{|a|}{\sqrt{2\epsilon}}$，取$N = \left[ \frac{|a|}{\sqrt{2\epsilon}} \right] + 1$。
第（4）题
关键步骤：
- 小数表示为分数：
$0.999\cdots9 \, (\text{n个9}) = 1 - \frac{1}{10^n}.$ - 分析表达式与1的差：
$\left| \left(1 - \frac{1}{10^n}\right) - 1 \right| = \frac{1}{10^n}.$ - 确定$N$：
令$\frac{1}{10^n} < \epsilon$，取对数得$n > \log_{10} \frac{1}{\epsilon}$，因此取$N = \left[ \log_{10} \frac{1}{\epsilon} \right] + 1$。