试求m的最大值，使不等式 |x-1|+|x-2|+2|x-9|+|x-10|+|x-11|geqslant m对任意实数恒成立。

考查要点：本题主要考查绝对值函数的性质及其和的最小值问题，需要结合绝对值几何意义和加权中位数的思想进行分析。

解题核心思路：
将原式视为多个点到$x$的距离之和（注意权重），通过分析加权中位数的位置确定最小值点。关键在于将系数2转化为两个相同的点，从而找到平衡点。

破题关键点：

1. 权重处理：将$2|x-9|$拆分为两个$|x-9|$，等效于在点9处增加一个权重。
2. 排序找中位数：将所有点排序后，加权中位数为第3、4个点（均为9），故最小值出现在$x=9$处。

将原式改写为：
$|x-1| + |x-2| + |x-9| + |x-9| + |x-10| + |x-11|$
等效于计算点$x$到1、2、9、9、10、11的距离之和。

步骤1：确定加权中位数
排序后的点序列为：1, 2, 9, 9, 10, 11。
共有6个点，中位数为第3、4个点的平均值，即$9$和$9$，故最小值出现在$x=9$处。

步骤2：计算最小值
将$x=9$代入原式：
$\begin{aligned}|9-1| + |9-2| + 2|9-9| + |9-10| + |9-11| &= 8 + 7 + 0 + 1 + 2 \\&= 18.\end{aligned}$
因此，原式的最小值为$18$，即$m$的最大值为$18$。