题目

3.设随机变量X,Y相互独立,且均服从同一指数分布,概率密度为f(x)=}lambda e^-lambda x,&xgeqslant0,0,&x<0,求Z=(X)/(Y)的概率密度f_(Z)(z).

3.设随机变量X,Y相互独立,且均服从同一指数分布,概率密度为 $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geqslant0,\\0,&x<0,\end{cases}$ 求$Z=\frac{X}{Y}$的概率密度$f_{Z}(z)$.

题目解答

答案

为了求解 $ Z = \frac{X}{Y} $ 的概率密度 $ f_Z(z) $，我们首先需要使用随机变量的变换方法。由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立且均服从同一指数分布，其概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\ 0, & x < 0, \end{cases} \] 我们定义新的随机变量 $ Z = \frac{X}{Y} $ 和 $ W = Y $。这样， $ X = ZW $ 和 $ Y = W $。我们首先求解 $ (Z, W) $ 的联合概率密度函数，然后通过边缘化 $ W $ 来得到 $ Z $ 的概率密度函数。 ### 步骤1：求解 $ (Z, W) $ 的联合概率密度函数 $ (X, Y) $ 的联合概率密度函数为： \[ f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y} = \lambda^2 e^{-\lambda (x + y)}, \quad x \geq 0, y \geq 0. \] 使用变量变换 $ X = ZW $ 和 $ Y = W $， Jacobian 行列式 $ J $ 为： \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} w & z \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = w. \] 因此， $ (Z, W) $ 的联合概率密度函数为： \[ f_{Z,W}(z, w) = f_{X,Y}(zw, w) |J| = \lambda^2 e^{-\lambda (zw + w)} w = \lambda^2 w e^{-\lambda w (z + 1)}, \quad z \geq 0, w \geq 0. \] ### 步骤2：求解 $ Z $ 的概率密度函数 为了得到 $ Z $ 的概率密度函数，我们对 $ f_{Z,W}(z, w) $ 关于 $ w $ 进行积分： \[ f_Z(z) = \int_0^\infty f_{Z,W}(z, w) \, dw = \int_0^\infty \lambda^2 w e^{-\lambda w (z + 1)} \, dw. \] 我们使用分部积分法来计算这个积分。令 $ u = w $ 和 $ dv = \lambda^2 e^{-\lambda w (z + 1)} \, dw $。则 $ du = dw $ 和 $ v = -\frac{\lambda}{z+1} e^{-\lambda w (z + 1)} $。因此， \[ f_Z(z) = \left[ -\frac{\lambda w}{z+1} e^{-\lambda w (z + 1)} \right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{\lambda}{z+1} e^{-\lambda w (z + 1)} \, dw. \] 第一项在 $ w \to \infty $ 时为 0，在 $ w = 0 $ 时为 0，所以 \[ f_Z(z) = \int_0^\infty \frac{\lambda}{z+1} e^{-\lambda w (z + 1)} \, dw = \frac{\lambda}{z+1} \left[ -\frac{1}{\lambda (z+1)} e^{-\lambda w (z + 1)} \right]_0^\infty = \frac{\lambda}{z+1} \cdot \frac{1}{\lambda (z+1)} = \frac{1}{(z+1)^2}. \] Thus, $ Z = \frac{X}{Y} $ 的概率密度函数为： \[ \boxed{\frac{1}{(z+1)^2}, \quad z \geq 0.} \]

解析

考查要点：本题主要考查两个独立同分布指数随机变量的比值的密度函数求解，需要掌握变量变换法和雅可比行列式的计算，以及积分求解边缘密度的能力。

解题核心思路：

  1. 引入辅助变量：通过设定$W = Y$，将原变量$(X, Y)$转换为$(Z, W)$，其中$Z = \frac{X}{Y}$，从而将比值问题转化为联合密度的求解。
  2. 计算雅可比行列式：确定变量变换的绝对值雅可比行列式，用于调整联合密度函数。
  3. 积分求边缘密度：对辅助变量$W$进行积分，消去后得到$Z$的边缘概率密度函数。

破题关键点：

  • 变量变换的选择：合理选择辅助变量$W$，使得变量变换可逆且易于计算。
  • 积分技巧：对含指数函数的积分，需熟练运用分部积分法或查积分公式表。

步骤1：定义变量变换

设$Z = \frac{X}{Y}$，辅助变量$W = Y$，则原变量可表示为：
$X = ZW, \quad Y = W.$

步骤2：求联合概率密度$f_{Z,W}(z, w)$

  1. 原联合密度：
    $f_{X,Y}(x, y) = \lambda^2 e^{-\lambda(x + y)}, \quad x \geq 0, y \geq 0.$
  2. 雅可比行列式：
    $J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} w & z \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = w.$
  3. 变换后的联合密度：
    $f_{Z,W}(z, w) = f_{X,Y}(zw, w) \cdot |J| = \lambda^2 w e^{-\lambda w(z + 1)}, \quad z \geq 0, w \geq 0.$

步骤3：求$Z$的边缘密度$f_Z(z)$

对$w$积分：
$f_Z(z) = \int_0^\infty \lambda^2 w e^{-\lambda w(z + 1)} \, dw.$
分部积分法：
令$a = \lambda(z + 1)$，则积分化为：
$\int_0^\infty w e^{-a w} \, dw = \frac{1}{a^2}.$
代入$a = \lambda(z + 1)$，得：
$f_Z(z) = \lambda^2 \cdot \frac{1}{\lambda^2(z + 1)^2} = \frac{1}{(z + 1)^2}, \quad z \geq 0.$