题目
1 (10分) 求oint_(L)(e^x^(2)-x^2y)dx+(xy^2-sin y^2)dy，L是圆周x^2+y^2=a^2(a>0)依逆时针方向.
1 (10分) 求$\oint_{L}(e^{x^{2}}-x^{2}y)dx+(xy^{2}-\sin y^{2})dy$，L是圆周$x^{2}+y^{2}=a^{2}$(a>0)依逆时针方向.
题目解答
答案
为了求解曲线积分 $\oint_{L}(e^{x^{2}}-x^{2}y)dx+(xy^{2}-\sin y^{2})dy$，其中 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 依逆时针方向，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $L$ 和一个平面区域 $D$，如果 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，那么
\[
\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA.
\]
这里， $P(x, y) = e^{x^2} - x^2 y$ 和 $Q(x, y) = xy^2 - \sin y^2$。首先，我们需要计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy^2 - \sin y^2) = y^2,
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{x^2} - x^2 y) = -x^2.
\]
因此，格林公式中的被积函数为
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2.
\]
现在，我们将这个被积函数在区域 $D$ 上进行二重积分，其中 $D$ 是圆盘 $x^2 + y^2 \leq a^2$。为了方便计算，我们使用极坐标系。在极坐标系中， $x = r \cos \theta$， $y = r \sin \theta$，且 $dA = r \, dr \, d\theta$。区域 $D$ 在极坐标系中表示为 $0 \leq r \leq a$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。因此，二重积分变为
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} (r^2) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta.
\]
我们先对 $r$ 积分：
\[
\int_{0}^{a} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4}.
\]
然后对 $\theta$ 积分：
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = \frac{a^4}{4} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{a^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^4}{2}.
\]
因此，原曲线积分的值为
\[
\oint_{L}(e^{x^{2}}-x^{2}y)dx+(xy^{2}-\sin y^{2})dy = \frac{\pi a^4}{2}.
\]
最终答案是
\[
\boxed{\frac{\pi a^4}{2}}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查格林公式的应用，以及将二重积分转化为极坐标系下的积分计算。
解题核心思路：
- 识别闭合曲线：题目中的积分路径是闭合的圆周，符合格林公式的应用条件。
- 计算偏导数：分别求出积分表达式中$P$对$y$的偏导数和$Q$对$x$的偏导数，构造被积函数。
- 转换为极坐标：利用极坐标简化积分区域为圆盘的情况，计算二重积分。
破题关键点：
- 正确应用格林公式，将曲线积分转化为二重积分。
- 准确计算偏导数，避免符号错误。
- 选择极坐标系简化积分计算，注意面积元素的转换。
步骤1：应用格林公式
根据格林公式，闭合曲线积分可转化为：
$\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$
其中，$P = e^{x^2} - x^2 y$，$Q = xy^2 - \sin y^2$，区域$D$为圆盘$x^2 + y^2 \leq a^2$。
步骤2：计算偏导数
- $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
$\frac{\partial}{\partial x} (xy^2 - \sin y^2) = y^2$ - $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$\frac{\partial}{\partial y} (e^{x^2} - x^2 y) = -x^2$
因此，被积函数为：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2$
步骤3：极坐标变换
在极坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，积分区域变为$0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
原二重积分转化为：
$\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta$
步骤4：计算积分
- 对$r$积分：
$\int_{0}^{a} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4}$ - 对$\theta$积分：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = \frac{a^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^4}{2}$