设 D=(x,y)|x^2+y^2 leq 1，则二重积分 iint_(D) ln(x^2 + y^2), dx , dy (）.A. geq 0；B. leq 0；C. = 0；D. 不一定存在。

考查要点：本题主要考查二重积分的性质及对数函数在特定区域内的符号判断。

解题核心思路：

1. 确定被积函数的符号：在单位圆内，$x^2 + y^2$ 的取值范围为 $[0,1]$，而$\ln(t) \leq 0$ 当且仅当 $0 < t \leq 1$。因此，$\ln(x^2 + y^2)$ 在区域 $D$ 内非正。
2. 积分性质应用：被积函数非正时，二重积分的结果非正。
3. 积分存在性验证：通过极坐标变换计算积分，确认积分收敛且结果为负。

破题关键点：

• 对数函数的单调性：$\ln(t)$ 在 $(0,1]$ 区间内单调递增且非正。
• 极坐标转换：将积分转换为极坐标形式，简化计算并验证积分存在性。

步骤1：分析被积函数的符号

在区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ 内，$x^2 + y^2$ 的取值范围为 $[0, 1]$。

• 当 $0 < x^2 + y^2 \leq 1$ 时，$\ln(x^2 + y^2) \leq 0$（因为 $\ln(t) \leq 0$ 对 $0 < t \leq 1$ 成立）。
• 当 $x^2 + y^2 = 1$ 时，$\ln(x^2 + y^2) = 0$。
  因此，$\ln(x^2 + y^2)$ 在 $D$ 内非正，仅在边界处等于0。

步骤2：应用二重积分性质

根据二重积分的性质，若被积函数在积分区域上非正，则积分结果非正：
$\iint_{D} \ln(x^2 + y^2) \, dx \, dy \leq \iint_{D} 0 \, dx \, dy = 0.$

步骤3：验证积分存在性

将积分转换为极坐标形式：
$\iint_{D} \ln(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \ln(r^2) \cdot r \, dr \, d\theta.$
化简被积函数：
$\ln(r^2) = 2\ln r, \quad \text{积分变为} \quad 2 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \ln r \, dr.$

• $\theta$ 积分结果为 $2\pi$。
• $r$ 积分 $\int_{0}^{1} r \ln r \, dr$ 存在且为负数（计算得 $-\frac{1}{4}$）。
  因此，整体积分结果为负，积分存在且结果为负。