题目
将下列函数转换为分段函数形式.(1) y = |x| + 1;(2) y = |x - 2|;(3) y = |2x + 2|.
将下列函数转换为分段函数形式. (1) $y = |x| + 1$; (2) $y = |x - 2|$; (3) $y = |2x + 2|$.
题目解答
答案
我们来逐个分析并把每个函数转换为**分段函数**的形式。分段函数是根据变量 $ x $ 的不同取值范围，给出不同的表达式。
---
### **(1) $ y = |x| + 1 $**
**分析：**
绝对值函数 $ |x| $ 的定义是：
$$
|x| =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
$$
所以：
$$
y = |x| + 1 =
\begin{cases}
x + 1, & x \ge 0 \\
-x + 1, & x < 0
\end{cases}
$$
**答案：**
$$
y =
\begin{cases}
x + 1, & x \ge 0 \\
-x + 1, & x < 0
\end{cases}
$$
---
### **(2) $ y = |x - 2| $**
**分析：**
我们先分析绝对值的“拐点”在哪里。绝对值函数 $ |x - 2| $ 的“拐点”是当 $ x - 2 = 0 $，即 $ x = 2 $。
所以：
$$
|x - 2| =
\begin{cases}
x - 2, & x \ge 2 \\
-(x - 2) = -x + 2, & x < 2
\end{cases}
$$
**答案：**
$$
y =
\begin{cases}
x - 2, & x \ge 2 \\
-x + 2, & x < 2
\end{cases}
$$
---
### **(3) $ y = |2x + 2| $**
**分析：**
我们先找出“拐点”，即当 $ 2x + 2 = 0 $，解得 $ x = -1 $。
所以：
$$
|2x + 2| =
\begin{cases}
2x + 2, & 2x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \\
-(2x + 2) = -2x - 2, & 2x + 2 < 0 \Rightarrow x < -1
\end{cases}
$$
**答案：**
$$
y =
\begin{cases}
2x + 2, & x \ge -1 \\
-2x - 2, & x < -1
\end{cases}
$$
---
### ✅ 总结答案：
1. $ y = |x| + 1 $ 的分段形式为：
$$
\boxed{
y =
\begin{cases}
x + 1, & x \ge 0 \\
-x + 1, & x < 0
\end{cases}
}
$$
2. $ y = |x - 2| $ 的分段形式为：
$$
\boxed{
y =
\begin{cases}
x - 2, & x \ge 2 \\
-x + 2, & x < 2
\end{cases}
}
$$
3. $ y = |2x + 2| $ 的分段形式为：
$$
\boxed{
y =
\begin{cases}
2x + 2, & x \ge -1 \\
-2x - 2, & x < -1
\end{cases}
}
$$
解析
考查要点：将绝对值函数转换为分段函数形式，核心在于确定绝对值内部表达式的零点（拐点），并根据$x$的不同取值范围分段讨论。
解题思路：
- 找到拐点：令绝对值内部表达式为$0$，解出$x$的值。
- 分段讨论：根据拐点将定义域分为两段，分别写出对应的表达式（正负情况）。
- 组合结果：用分段函数形式表达最终结果。
(1) $y = |x| + 1$
确定拐点
绝对值内部表达式为$x$，令$x = 0$，拐点为$x = 0$。
分段讨论
- 当$x \ge 0$时，$|x| = x$，故$y = x + 1$；
- 当$x < 0$时，$|x| = -x$，故$y = -x + 1$。
(2) $y = |x - 2|$
确定拐点
令$x - 2 = 0$，解得拐点为$x = 2$。
分段讨论
- 当$x \ge 2$时，$|x - 2| = x - 2$；
- 当$x < 2$时，$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$。
(3) $y = |2x + 2|$
确定拐点
令$2x + 2 = 0$，解得拐点为$x = -1$。
分段讨论
- 当$x \ge -1$时，$|2x + 2| = 2x + 2$；
- 当$x < -1$时，$|2x + 2| = -(2x + 2) = -2x - 2$。