4.设f(x,y)在(0,0)的邻域内连续，且lim_(x to 0 {且)y to 0} (f(x,y)-1)/(ln(1+x^2)+y^(2))=2，则A.f(x,y)在(0,0)处取极小值.B.f(x,y)在(0,0)处取极大值.C.f(x,y)在(0,0)处可偏导但不取极值.D.f(x,y)在(0,0)处不可偏导也不取极值.

题目分析

已知条件为：

1. 函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 的邻域内连续。
2. 极限 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x,y) - 1}{\ln(1 + x^2 + y^2)} = 2$。

我们需要根据这个极限条件，判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的极值情况和可偏导性。

逐步推理

1. 分析极限条件，确定 $f(0,0)$ 的值

当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，分母 $\ln(1 + x^2 + y^2) \to \ln(1) = 0$。
因为极限存在且等于常数 $2$（非无穷大），所以分子也必须趋于 $0$，即：
$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} (f(x,y) - 1) = 0 \implies \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y) = 1$
又因为 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，所以：
$f(0,0) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y) = 1$

2. 利用等价无穷小分析局部性质

当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，有等价无穷小 $\ln(1 + x^2 + y^2) \sim x^2 + y^2$。
将原极限改写为：
$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x,y) - 1}{x^2 + y^2} = 2$
根据极限的保号性，因为极限值 $2 > 0$，所以在 $(0,0)$ 的去心邻域内，有：
$\frac{f(x,y) - 1}{x^2 + y^2} > 0$
由于分母 $x^2 + y^2 > 0$（在去心邻域内），所以分子 $f(x,y) - 1 > 0$，即：
$f(x,y) > 1 = f(0,0)$
这说明在 $(0,0)$ 的邻域内，函数值 $f(x,y)$ 总是大于等于 $f(0,0)$（在 $(0,0)$ 点相等，其余点大于）。
因此，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处取得极小值。

3. 分析在 $(0,0)$ 处的可偏导性

我们需要考察偏导数的定义：
$f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - 1}{x}$
由前面的极限结论可知：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - 1}{x^2 + 0^2} = 2 \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - 1}{x^2} = 2$
这意味着当 $x \to 0$ 时，$f(x,0) - 1 \sim 2x^2$。
代入偏导数的极限式中：
$f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to 0} 2x = 0$
同理，对于 $y$ 的偏导数：
$f_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{f(0,y) - 1}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{2y^2}{y} = \lim_{y \to 0} 2y = 0$
所以，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是可偏导的，且偏导数均为 $0$。

结论

综合上述推理：

• $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处取得极小值。
• $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可偏导。

对比给出的选项：

• A. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处取极小值。 （符合）
• B. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处取极大值。（不符）
• C. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可偏导但不取极值。（不符，它取极值）
• D. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不可偏导也不取极值。（不符）

正确答案是 A。