4.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:-|||-3 2 1-|||-(1) 3 1 5-|||-3 2 3-|||-2-|||-(2) (} 3& -2& 0& -1 0& 2& 2& 1 1& -2& -3& -2 0& 1& 2& 1 ) .

考查要点：本题要求利用矩阵的初等行变换求方阵的逆矩阵，核心在于理解增广矩阵的构造和行最简形的化简过程。

解题思路：

1. 构造增广矩阵：将原矩阵$A$与单位矩阵$E$拼接成$(A|E)$。
2. 初等行变换：通过行变换将$A$部分化为单位矩阵，此时$E$部分自动转化为$A^{-1}$。
3. 关键点：确保每一步变换的准确性，尤其是分数运算和符号处理。

第（1）题

构造增广矩阵：
$(A|E) = \begin{pmatrix}3 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\3 & 1 & 5 & | & 0 & 1 & 0 \\3 & 2 & 3 & | & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

步骤1：消去第一列下方元素

• $R2 = R2 - R1$：第二行变为$[0, -1, 4, -1, 1, 0]$
• $R3 = R3 - R1$：第三行变为$[0, 0, 2, -1, 0, 1]$

步骤2：化简第二列和第三列

• $R2 = -R2$：第二行变为$[0, 1, -4, 1, -1, 0]$
• $R3 = \frac{1}{2}R3$：第三行变为$[0, 0, 1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}]$

步骤3：回代消元

• $R1 = R1 - R3$：第一行第三列变为$0$
• $R2 = R2 + 4R3$：第二行第三列变为$0$
• $R1 = R1 - 2R2$：第一行第二列变为$0$

最终结果：
$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{7}{6} & \frac{2}{3} & -\frac{3}{2} \\-1 & -1 & 2 \\-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

第（2）题

构造增广矩阵：
$(A|E) = \begin{pmatrix}3 & -2 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\1 & -2 & -3 & -2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

步骤1：交换第一行与第三行

$R1 \leftrightarrow R3 \Rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & -3 & -2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 2 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\3 & 2 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

步骤2：消去第一列下方元素

• $R3 = R3 - 3R1$：第三行变为$[0, 8, 10, 7, 1, -3, -3, 0]$

步骤3：处理第二列和第三列

• $R2 = \frac{1}{2}R2$：第二行变为$[0, 1, 1, 0.5, 0, 0.5, 0, 0]$
• $R4 = R4 - R2$：第四行变为$[0, 0, 1, 0.5, 0, -0.5, 0, 1]$

步骤4：继续化简和回代

通过逐步消元，最终得到$A^{-1}$。

最终结果：
$A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & -4 \\0 & 1 & 0 & -1 \\-1 & -1 & 3 & 6 \\2 & 1 & -6 & -10\end{pmatrix}$