题目
求曲线 =f(t)=(t-sin t)i+(1-cos t)i+(4sin dfrac (t)(2))k 在与 _(0)=dfrac (pi )(2) 相应的点处-|||-的切线及法平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的点
曲线 $r=f(t)=(t-\sin t)i+(1-\cos t)i+(4\sin \dfrac {t}{2})k$ 在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的点为 $r(\dfrac {\pi }{2})=(\dfrac {\pi }{2}-\sin \dfrac {\pi }{2})i+(1-\cos \dfrac {\pi }{2})i+(4\sin \dfrac {\pi }{4})k=(\dfrac {\pi }{2}-1)i+1i+2\sqrt {2}k$。
步骤 2：计算曲线在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的切向量
曲线在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的切向量为 $f'({t}_{0})=(1-\cos t)i+(\sin t)i+(2\cos \dfrac {t}{2})k$ 在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的值，即 $f'(\dfrac {\pi }{2})=(1-\cos \dfrac {\pi }{2})i+(\sin \dfrac {\pi }{2})i+(2\cos \dfrac {\pi }{4})k=(1)i+1i+\sqrt {2}k$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为 $\dfrac {x-(\dfrac {\pi }{2}-1)}{1}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z-2\sqrt {2}}{\sqrt {2}}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程为 $(x-(\dfrac {\pi }{2}-1))+(y-1)+\sqrt {2}(z-2\sqrt {2})=0$，即 $x+y+\sqrt {2}z=\dfrac {\pi }{2}+4$。
曲线 $r=f(t)=(t-\sin t)i+(1-\cos t)i+(4\sin \dfrac {t}{2})k$ 在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的点为 $r(\dfrac {\pi }{2})=(\dfrac {\pi }{2}-\sin \dfrac {\pi }{2})i+(1-\cos \dfrac {\pi }{2})i+(4\sin \dfrac {\pi }{4})k=(\dfrac {\pi }{2}-1)i+1i+2\sqrt {2}k$。
步骤 2：计算曲线在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的切向量
曲线在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的切向量为 $f'({t}_{0})=(1-\cos t)i+(\sin t)i+(2\cos \dfrac {t}{2})k$ 在 ${t}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$ 处的值，即 $f'(\dfrac {\pi }{2})=(1-\cos \dfrac {\pi }{2})i+(\sin \dfrac {\pi }{2})i+(2\cos \dfrac {\pi }{4})k=(1)i+1i+\sqrt {2}k$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为 $\dfrac {x-(\dfrac {\pi }{2}-1)}{1}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z-2\sqrt {2}}{\sqrt {2}}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程为 $(x-(\dfrac {\pi }{2}-1))+(y-1)+\sqrt {2}(z-2\sqrt {2})=0$，即 $x+y+\sqrt {2}z=\dfrac {\pi }{2}+4$。