题目
(5)对于函数 f(x)= { , xneq 0 0, x=0 . 在 x=0 处的连续性与可导性,下列说法正确的-|||-是 () .-|||-(A)连续,可导 (B)不连续,不可导-|||-(C)不连续,可导 (D)连续,不可导
题目解答
答案
解析
步骤 1：判断函数在 x=0 处的连续性
函数在 x=0 处的连续性需要满足 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。对于给定的函数，当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = x\sin \dfrac{1}{x}$，当 $x = 0$ 时，$f(x) = 0$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0} x\sin \dfrac{1}{x}$。
由于 $-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1$，所以 $-x \leq x\sin \dfrac{1}{x} \leq x$。当 $x \to 0$ 时，$-x$ 和 $x$ 都趋于 0，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x\sin \dfrac{1}{x} = 0$。所以，函数在 x=0 处是连续的。
步骤 2：判断函数在 x=0 处的可导性
函数在 x=0 处的可导性需要满足 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}$ 存在。对于给定的函数，$f(0) = 0$，$f(0+h) = h\sin \dfrac{1}{h}$。因此，我们需要计算 $\lim_{h \to 0} \dfrac{h\sin \dfrac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin \dfrac{1}{h}$。
由于 $\sin \dfrac{1}{h}$ 在 $h \to 0$ 时没有极限，因此 $\lim_{h \to 0} \sin \dfrac{1}{h}$ 不存在。所以，函数在 x=0 处是不可导的。
函数在 x=0 处的连续性需要满足 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。对于给定的函数，当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = x\sin \dfrac{1}{x}$，当 $x = 0$ 时，$f(x) = 0$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0} x\sin \dfrac{1}{x}$。
由于 $-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1$，所以 $-x \leq x\sin \dfrac{1}{x} \leq x$。当 $x \to 0$ 时，$-x$ 和 $x$ 都趋于 0，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x\sin \dfrac{1}{x} = 0$。所以，函数在 x=0 处是连续的。
步骤 2：判断函数在 x=0 处的可导性
函数在 x=0 处的可导性需要满足 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}$ 存在。对于给定的函数，$f(0) = 0$，$f(0+h) = h\sin \dfrac{1}{h}$。因此，我们需要计算 $\lim_{h \to 0} \dfrac{h\sin \dfrac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin \dfrac{1}{h}$。
由于 $\sin \dfrac{1}{h}$ 在 $h \to 0$ 时没有极限，因此 $\lim_{h \to 0} \sin \dfrac{1}{h}$ 不存在。所以，函数在 x=0 处是不可导的。