7.一质点沿x轴做直线运动,其加速度为 =-(AC)^2cos omega t, 在 t=0 时,-|||-_(0)=0, _(0)=A, 其中A、w均为常量,求质点的运动方程。

考查要点：本题主要考查利用积分法由加速度求运动方程的能力，涉及变加速直线运动的积分处理及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 两次积分法：已知加速度$a(t)$，先对时间积分求速度$v(t)$，再积分$v(t)$得到位置$x(t)$。
2. 初始条件确定积分常数：利用$t=0$时$v_0=0$和$x_0=A$确定两次积分中的常数项。

破题关键点：

• 积分时注意三角函数的导数关系，例如$\int \cos \omega t \, dt = \frac{1}{\omega} \sin \omega t + C$。
• 正确代入初始条件，确保积分常数计算无误。

步骤1：由加速度求速度

加速度为$a(t) = -A\omega^2 \cos \omega t$，对时间积分得速度：
$v(t) = \int a(t) \, dt = \int -A\omega^2 \cos \omega t \, dt = -A\omega^2 \cdot \frac{1}{\omega} \sin \omega t + C_1 = -A\omega \sin \omega t + C_1$
应用初始条件$t=0$时$v=0$：
$0 = -A\omega \sin 0 + C_1 \implies C_1 = 0$
因此，速度函数为：
$v(t) = -A\omega \sin \omega t$

步骤2：由速度求位置

对速度积分得位置：
$x(t) = \int v(t) \, dt = \int -A\omega \sin \omega t \, dt = -A\omega \cdot \left( -\frac{1}{\omega} \cos \omega t \right) + C_2 = A \cos \omega t + C_2$
应用初始条件$t=0$时$x=A$：
$A = A \cos 0 + C_2 \implies A = A \cdot 1 + C_2 \implies C_2 = 0$
因此，运动方程为：
$x(t) = A \cos \omega t$