一正薄透镜将物体成像于屏幕上时,测得其放大率β=-3×, 而当透镜向物体移近180mm时,屏上像的放大率为-4×,问该透镜的焦距为多少?

考查要点：本题主要考查透镜成像公式的应用，以及放大率与物距、像距的关系。关键在于利用两次成像条件建立方程，求解透镜的焦距。

解题核心思路：

1. 放大率公式：$\beta = -\dfrac{v}{u}$，其中$v$为像距，$u$为物距。
2. 透镜公式：$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}$。
3. 两次成像的物距变化：透镜移动导致物距变化，通过联立方程求解焦距。

破题关键点：

• 根据两次成像的放大率，分别表示出对应的物距$u_1$和$u_2$。
• 利用透镜移动的距离$\Delta x = u_1 - u_2$，结合透镜公式联立求解。

第一次成像

放大率$\beta_1 = -3$，由$\beta = -\dfrac{v}{u}$得：
$v_1 = 3u_1$
代入透镜公式：
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{v_1} = \dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{3u_1} = \dfrac{4}{3u_1} \implies u_1 = \dfrac{4f}{3}$

第二次成像

透镜向物体移动$180\ \text{mm}$，物距变为$u_2 = u_1 - 180$。放大率$\beta_2 = -4$，同理：
$v_2 = 4u_2$
代入透镜公式：
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u_2} + \dfrac{1}{v_2} = \dfrac{1}{u_2} + \dfrac{1}{4u_2} = \dfrac{5}{4u_2} \implies u_2 = \dfrac{5f}{4}$

联立方程

由$u_2 = u_1 - 180$得：
$\dfrac{5f}{4} = \dfrac{4f}{3} - 180$
通分后化简：
$15f = 16f - 2160 \implies f = 2160\ \text{mm}$