题目
如图所示，半径为R，质量为M的均匀圆盘，靠边挖去直径为R的一个圆孔后，对通过圆盘中心O且与盘面垂直的轴的转动惯量是J=( )R R-|||-0A.dfrac(15)(32)M(R)^2B.dfrac(7)(16)M(R)^2C.dfrac(13)(32)M(R)^2D.dfrac(3)(8)M(R)^2
如图所示，半径为R，质量为M的均匀圆盘，靠边挖去直径为R的一个圆孔后，对通过圆盘中心O且与盘面垂直的轴的转动惯量是$J=$( )
A.$\dfrac{15}{32}M{R}^{2}$
B.$\dfrac{7}{16}M{R}^{2}$
C.$\dfrac{13}{32}M{R}^{2}$
D.$\dfrac{3}{8}M{R}^{2}$
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算完整圆盘的转动惯量
对于一个质量为M，半径为R的均匀圆盘，其对通过圆盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{完整}} = \frac{1}{2} M R^2 \]
步骤 2：计算挖去的圆孔的转动惯量
挖去的圆孔的半径为R/2，质量为M'，根据质量与面积的关系，挖去的圆孔的质量为：
\[ M' = M \times \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{M}{4} \]
挖去的圆孔对通过其自身圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{孔}} = \frac{1}{2} M' (R/2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{M}{4} \times \frac{R^2}{4} = \frac{1}{32} M R^2 \]
根据平行轴定理，挖去的圆孔对通过圆盘中心O且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{孔，O}} = I_{\text{孔}} + M' (R/2)^2 = \frac{1}{32} M R^2 + \frac{M}{4} \times \frac{R^2}{4} = \frac{1}{32} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{3}{32} M R^2 \]
步骤 3：计算挖去圆孔后的圆盘的转动惯量
挖去圆孔后的圆盘的转动惯量为完整圆盘的转动惯量减去挖去圆孔的转动惯量：
\[ I_{\text{挖去}} = I_{\text{完整}} - I_{\text{孔，O}} = \frac{1}{2} M R^2 - \frac{3}{32} M R^2 = \frac{16}{32} M R^2 - \frac{3}{32} M R^2 = \frac{13}{32} M R^2 \]
对于一个质量为M，半径为R的均匀圆盘，其对通过圆盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{完整}} = \frac{1}{2} M R^2 \]
步骤 2：计算挖去的圆孔的转动惯量
挖去的圆孔的半径为R/2，质量为M'，根据质量与面积的关系，挖去的圆孔的质量为：
\[ M' = M \times \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{M}{4} \]
挖去的圆孔对通过其自身圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{孔}} = \frac{1}{2} M' (R/2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{M}{4} \times \frac{R^2}{4} = \frac{1}{32} M R^2 \]
根据平行轴定理，挖去的圆孔对通过圆盘中心O且与盘面垂直的轴的转动惯量为：
\[ I_{\text{孔，O}} = I_{\text{孔}} + M' (R/2)^2 = \frac{1}{32} M R^2 + \frac{M}{4} \times \frac{R^2}{4} = \frac{1}{32} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{3}{32} M R^2 \]
步骤 3：计算挖去圆孔后的圆盘的转动惯量
挖去圆孔后的圆盘的转动惯量为完整圆盘的转动惯量减去挖去圆孔的转动惯量：
\[ I_{\text{挖去}} = I_{\text{完整}} - I_{\text{孔，O}} = \frac{1}{2} M R^2 - \frac{3}{32} M R^2 = \frac{16}{32} M R^2 - \frac{3}{32} M R^2 = \frac{13}{32} M R^2 \]