题目
2、单选-|||-设(x)=(x)^2+4x+3, 且直线 y=2x+a 是曲线 y=f(x) 上某点处的切线方程,-|||-直线 y=2x+b 是曲线 y=f(x) 上某点处的法线方程,则常数a和b为-|||-(4分)-|||-A =-2, =-dfrac (57)(16)-|||-__-|||-B =2, =-dfrac (57)(16)-|||-C a=2,b=2-|||-D =2,b=dfrac (57)(16)-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x) = x^2 + 4x + 3$ 的导数。根据导数的定义，$f'(x) = 2x + 4$。
步骤 2：确定切点
由于直线 $y = 2x + a$ 是曲线 $y = f(x)$ 上某点处的切线方程，因此该直线的斜率等于曲线在该点的导数值。因此，我们有 $2x + 4 = 2$，解得 $x = -1$。将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 0$。因此，切点为 $(-1, 0)$。
步骤 3：确定常数a
由于切点 $(-1, 0)$ 在直线 $y = 2x + a$ 上，因此将 $x = -1$ 和 $y = 0$ 代入直线方程，得到 $0 = 2(-1) + a$，解得 $a = 2$。
步骤 4：确定法线方程
由于直线 $y = 2x + b$ 是曲线 $y = f(x)$ 上某点处的法线方程，因此该直线的斜率等于曲线在该点的导数的负倒数。因此，我们有 $2x + 4 = -\frac{1}{2}$，解得 $x = -\frac{9}{4}$。将 $x = -\frac{9}{4}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-\frac{9}{4}) = (-\frac{9}{4})^2 + 4(-\frac{9}{4}) + 3 = -\frac{15}{16}$。因此，法线点为 $(-\frac{9}{4}, -\frac{15}{16})$。
步骤 5：确定常数b
由于法线点 $(-\frac{9}{4}, -\frac{15}{16})$ 在直线 $y = 2x + b$ 上，因此将 $x = -\frac{9}{4}$ 和 $y = -\frac{15}{16}$ 代入直线方程，得到 $-\frac{15}{16} = 2(-\frac{9}{4}) + b$，解得 $b = \frac{57}{16}$。
首先，我们需要求出函数 $f(x) = x^2 + 4x + 3$ 的导数。根据导数的定义，$f'(x) = 2x + 4$。
步骤 2：确定切点
由于直线 $y = 2x + a$ 是曲线 $y = f(x)$ 上某点处的切线方程，因此该直线的斜率等于曲线在该点的导数值。因此，我们有 $2x + 4 = 2$，解得 $x = -1$。将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 0$。因此，切点为 $(-1, 0)$。
步骤 3：确定常数a
由于切点 $(-1, 0)$ 在直线 $y = 2x + a$ 上，因此将 $x = -1$ 和 $y = 0$ 代入直线方程，得到 $0 = 2(-1) + a$，解得 $a = 2$。
步骤 4：确定法线方程
由于直线 $y = 2x + b$ 是曲线 $y = f(x)$ 上某点处的法线方程，因此该直线的斜率等于曲线在该点的导数的负倒数。因此，我们有 $2x + 4 = -\frac{1}{2}$，解得 $x = -\frac{9}{4}$。将 $x = -\frac{9}{4}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-\frac{9}{4}) = (-\frac{9}{4})^2 + 4(-\frac{9}{4}) + 3 = -\frac{15}{16}$。因此，法线点为 $(-\frac{9}{4}, -\frac{15}{16})$。
步骤 5：确定常数b
由于法线点 $(-\frac{9}{4}, -\frac{15}{16})$ 在直线 $y = 2x + b$ 上，因此将 $x = -\frac{9}{4}$ 和 $y = -\frac{15}{16}$ 代入直线方程，得到 $-\frac{15}{16} = 2(-\frac{9}{4}) + b$，解得 $b = \frac{57}{16}$。