一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为(P)/(2)．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．

考查要点：本题主要考查条件概率、全概率公式以及逆用贝叶斯公式的应用能力。
解题思路：

1. 第（1）题：通过逆向思维计算“至少一次及格”的概率，转化为计算两次都不及格的概率，再用1减去该概率。
2. 第（2）题：利用条件概率公式，结合全概率公式计算分母，分子通过乘法公式直接计算。
   关键点：

• 明确事件间依赖关系，正确拆分事件；
• 灵活运用全概率公式和乘法公式；
• 代数运算的准确性。

第（1）题

目标：求至少有一次及格的概率 $P(B)$，其中 $B = A_1 \cup A_2$。
步骤：

1. 逆向计算：计算两次都不及格的概率 $P(\overline{B}) = P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2})$。
2. 条件概率拆分：
   • 第一次不及格的概率：$P(\overline{A_1}) = 1 - P$；
   • 在第一次不及格的条件下，第二次不及格的概率：$P(\overline{A_2}|\overline{A_1}) = 1 - \frac{P}{2}$。
3. 联合概率：
   $P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}|\overline{A_1}) = (1-P)\left(1-\frac{P}{2}\right).$
4. 最终结果：
   $P(B) = 1 - (1-P)\left(1-\frac{P}{2}\right) = \frac{3}{2}P - \frac{1}{2}P^2.$

第（2）题

目标：求 $P(A_1|A_2)$，即已知第二次及格时第一次及格的概率。
步骤：

1. 条件概率公式：
   $P(A_1|A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)}.$
2. 分子计算：
   $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) = P \cdot P = P^2.$
3. 分母计算（全概率公式）：
   $P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1}) = P^2 + (1-P)\cdot\frac{P}{2}.$
4. 化简分母：
   $P(A_2) = P^2 + \frac{P}{2} - \frac{P^2}{2} = \frac{P^2}{2} + \frac{P}{2}.$
5. 代入公式：
   $P(A_1|A_2) = \frac{P^2}{\frac{P^2}{2} + \frac{P}{2}} = \frac{2P}{P + 1}.$