求微分方程x^2y''-2xy'-(y')^2=0(x>2)满足条件y|_(x=3)=(1)/(2)，y'|_(x=3)=-9的解.

设 $ p = y' $，则原方程变为 $ x^2 \frac{dp}{dx} - 2xp - p^2 = 0 $。令 $ p = vx $，得 $ v'x = v + v^2 $，分离变量积分得 $ \frac{v}{1+v} = kx $。由 $ y'|_{x=3} = -9 $，解得 $ k = \frac{1}{2} $，故 $ p = \frac{x^2}{2-x} $。
对 $ p $ 积分得
$y = \int \frac{x^2}{2-x} \, dx = -\frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln|x-2| + C.$
由 $ y|_{x=3} = \frac{1}{2} $，解得 $ C = 11 $。
答案：
$\boxed{y = -\frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln(x-2) + 11} \quad (x > 2)$