15.证明:当 leqslant 0 时, ^xleqslant dfrac (1)(1-x)

考查要点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来证明不等式，需要学生掌握构造辅助函数、求导分析单调性的方法。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将原不等式转化为等价形式，构造函数$f(x) = e^x(1 - x)$，目标转化为证明$f(x) \leq 1$当$x \leq 0$。
2. 分析函数单调性：通过求导判断函数在区间$x \leq 0$上的单调性，结合端点值确定最大值。
3. 验证初始条件：确认当$x=0$时等式成立，结合单调性得出结论。

破题关键点：

• 正确构造函数：通过移项将不等式转化为函数形式。
• 导数符号分析：明确$x \leq 0$时导数的符号，确定函数单调递增。
• 极值点与边界值：利用$x=0$处的函数值作为最大值。

步骤1：构造辅助函数
原不等式为$e^x \leq \dfrac{1}{1 - x}$（$x \leq 0$）。两边同乘正数$1 - x$（因$x \leq 0$，故$1 - x \geq 1 > 0$），得：
$e^x(1 - x) \leq 1.$
构造函数$f(x) = e^x(1 - x)$，需证明当$x \leq 0$时$f(x) \leq 1$。

步骤2：求导分析单调性
计算$f(x)$的导数：
$f'(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ e^x(1 - x) \right] = e^x(1 - x) + e^x(-1) = e^x(-x).$
当$x \leq 0$时，$-x \geq 0$，而$e^x > 0$，故$f'(x) \geq 0$。
结论：$f(x)$在区间$x \leq 0$上单调递增。

步骤3：确定最大值
由于$f(x)$在$x \leq 0$上单调递增，其最大值出现在右端点$x = 0$处：
$f(0) = e^0(1 - 0) = 1 \times 1 = 1.$
因此，当$x \leq 0$时，$f(x) \leq f(0) = 1$，即：
$e^x(1 - x) \leq 1.$

步骤4：还原原不等式
两边同除以正数$1 - x$，得：
$e^x \leq \dfrac{1}{1 - x} \quad (x \leq 0).$