题目
(4)(10分)计算二重积分 iint dfrac (sin x)(x)dxdy 其中-|||-D是由直线 y=x 及抛物线 =(x)^2 围成的-|||-区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
首先，确定积分区域D。D是由直线y=x和抛物线$y=x^2$围成的区域。为了确定积分的上下限，我们需要找到这两条曲线的交点。解方程$x^2 = x$，得到$x=0$和$x=1$。因此，积分区域D在x轴上的范围是[0,1]，在y轴上的范围是$[x^2, x]$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤1，我们可以设置二重积分的表达式。由于积分区域D在x轴上的范围是[0,1]，在y轴上的范围是$[x^2, x]$，因此二重积分可以表示为：
$$\iint_D \frac{\sin x}{x} dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^x \frac{\sin x}{x} dy dx$$
步骤 3：计算二重积分
首先，计算内层积分：
$$\int_{x^2}^x \frac{\sin x}{x} dy = \frac{\sin x}{x} \int_{x^2}^x dy = \frac{\sin x}{x} (x - x^2) = \sin x - x\sin x$$
然后，计算外层积分：
$$\int_0^1 (\sin x - x\sin x) dx = \int_0^1 \sin x dx - \int_0^1 x\sin x dx$$
对于第一个积分，我们有：
$$\int_0^1 \sin x dx = [-\cos x]_0^1 = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1$$
对于第二个积分，我们使用分部积分法。设$u = x$，$dv = \sin x dx$，则$du = dx$，$v = -\cos x$。因此，我们有：
$$\int_0^1 x\sin x dx = [-x\cos x]_0^1 + \int_0^1 \cos x dx = -\cos 1 + [\sin x]_0^1 = -\cos 1 + \sin 1$$
将这两个结果相减，我们得到：
$$\int_0^1 (\sin x - x\sin x) dx = (1 - \cos 1) - (-\cos 1 + \sin 1) = 1 - \sin 1$$
首先，确定积分区域D。D是由直线y=x和抛物线$y=x^2$围成的区域。为了确定积分的上下限，我们需要找到这两条曲线的交点。解方程$x^2 = x$，得到$x=0$和$x=1$。因此，积分区域D在x轴上的范围是[0,1]，在y轴上的范围是$[x^2, x]$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤1，我们可以设置二重积分的表达式。由于积分区域D在x轴上的范围是[0,1]，在y轴上的范围是$[x^2, x]$，因此二重积分可以表示为：
$$\iint_D \frac{\sin x}{x} dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^x \frac{\sin x}{x} dy dx$$
步骤 3：计算二重积分
首先，计算内层积分：
$$\int_{x^2}^x \frac{\sin x}{x} dy = \frac{\sin x}{x} \int_{x^2}^x dy = \frac{\sin x}{x} (x - x^2) = \sin x - x\sin x$$
然后，计算外层积分：
$$\int_0^1 (\sin x - x\sin x) dx = \int_0^1 \sin x dx - \int_0^1 x\sin x dx$$
对于第一个积分，我们有：
$$\int_0^1 \sin x dx = [-\cos x]_0^1 = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1$$
对于第二个积分，我们使用分部积分法。设$u = x$，$dv = \sin x dx$，则$du = dx$，$v = -\cos x$。因此，我们有：
$$\int_0^1 x\sin x dx = [-x\cos x]_0^1 + \int_0^1 \cos x dx = -\cos 1 + [\sin x]_0^1 = -\cos 1 + \sin 1$$
将这两个结果相减，我们得到：
$$\int_0^1 (\sin x - x\sin x) dx = (1 - \cos 1) - (-\cos 1 + \sin 1) = 1 - \sin 1$$