求内接于椭球(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1的最大长方体的体积V。下列解法过程中错误的是（）。A. 问题可转化为拉格朗日函数为 L(x,y,z,lambda)= xyz + lambda ((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) - 1 ) 的极值问题。B. V = (8abc)/(3sqrt(3))C. 设 (x,y,z) 是各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的顶点，则问题归结于求: (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1 下，V = 2x2y2z = 8xyz 的最大值D. V = (abc)/(3sqrt(3))

题目考察知识

本题主要考察利用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，具体为求内接于椭球的最大长方体体积，需判断各选项的正确性。

选项分析

选项A

各面平行于坐标面的内接长方体，其在第一卦限的顶点为$(x,y,z)$，则长方体的长宽高分别为$2x,2y,2z$，体积$V=8xyz$。因此，目标函数应为$8xyz$，而非$xyz$。拉格朗日函数应为$L=8xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$，而非$xyz$。选项A错误。

选项B

求解拉格朗日函数$L=8xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$的极值：

1. 对$x,y,z$求偏导并令为0：
   $\frac{\partial L}{\partial x}=8yz+\lambda\frac{2x}{a^2}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=8xz+\lambda\frac{2y}{b^2}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial z}=8xy+\lambda\frac{2z}{c^2}=0$
2. 消去$\lambda$得：$\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{1}{3}$，即$x=\frac{a}{\sqrt{3}},y=\frac{b}{\sqrt{3}},z=\frac{c}{\sqrt{3}}$。
3. 代入体积公式：$V=8xyz=8\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{b}{\sqrt{3}}\cdot\frac{c}{\sqrt{3}}=\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$。选项B正确。

选项C

内接长方体各面平行于坐标面时，第一卦限顶点$(x,y,z)$满足$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，体积$V=2x\cdot2y\cdot2z=8xyz$。选项C正确。

选项D

由选项B计算可知，最大体积为$\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$，而非$\frac{abc}{3\sqrt{3}}$。选项D错误。