求下列微分方程的通解:求下列微分方程的通解:

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，需要将原方程转化为标准形式后，利用积分因子法求解。

解题核心思路：

1. 变量交换：将原方程中的自变量和因变量互换，将方程整理为关于$x$的线性微分方程。
2. 积分因子法：通过构造积分因子，将方程转化为可直接积分的形式，最终求得通解。

破题关键点：

• 识别方程类型：原方程通过整理可转化为线性微分方程的形式。
• 正确构造积分因子：根据方程中的系数确定积分因子，并完成积分运算。

将原方程改写为关于$\dfrac{dx}{dy}$的形式：
$(y^2 -6x)\dfrac{dy}{dx} +2y=0 \implies \dfrac{dx}{dy} - \dfrac{3}{y}x = -\dfrac{y}{2}$
此时方程为一阶线性微分方程，标准形式为：
$\dfrac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$
其中，$P(y) = -\dfrac{3}{y}$，$Q(y) = -\dfrac{y}{2}$。

步骤1：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\dfrac{3}{y} dy} = e^{-3\ln y} = y^{-3}$

步骤2：方程两边乘以积分因子
$y^{-3} \dfrac{dx}{dy} - 3y^{-4}x = -\dfrac{y^{-2}}{2}$
左边可化简为：
$\dfrac{d}{dy}\left( x \cdot y^{-3} \right) = -\dfrac{y^{-2}}{2}$

步骤3：积分求解
对两边积分：
$x \cdot y^{-3} = \int -\dfrac{y^{-2}}{2} dy + C = \dfrac{1}{2y} + C$
整理得通解：
$x = y^3 \left( \dfrac{1}{2y} + C \right) = \dfrac{y^2}{2} + C y^3$