3.(单选题) 【单选题】设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y), 边缘分布函数为 F_(X)(x)与 F_(Y)(y), 则下列不正确的为() A. F(x,y)=1 B. F(-∞,-∞)=0 C. F_(Y)(y)=F(+∞,y). D. F_(X)(x)=F(x,+∞)

考查要点：本题主要考查二维随机变量分布函数的基本性质及其边缘分布函数的定义。

解题核心思路：

1. 分布函数的定义：$F(x,y)=P(X \leq x, Y \leq y)$，其值随$x$和$y$的增大而单调不减，最终趋于1。
2. 边缘分布函数的定义：
   • $F_X(x)=P(X \leq x)=F(x,+\infty)$（当$Y$取任意值时，$X \leq x$的概率）。
   • $F_Y(y)=P(Y \leq y)=F(+\infty,y)$（当$X$取任意值时，$Y \leq y$的概率）。
3. 边界条件：
   • $F(-\infty,-\infty)=0$（概率最小值）。
   • $F(+\infty,+\infty)=1$（概率最大值）。

破题关键：

• 选项A错误的原因在于分布函数$F(x,y)$的值依赖于$x$和$y$的具体取值，只有当$x$和$y$均趋于正无穷时才等于1，而非恒等于1。
• 其余选项均符合分布函数的定义和性质。

选项分析

选项A

$F(x,y)=1$

• 错误：分布函数$F(x,y)$表示$X \leq x$且$Y \leq y$的概率，其值随$x$和$y$的增大而单调不减，但只有当$x$和$y$均趋于正无穷时，$F(x,y)$才等于1。若$x$或$y$有限，则$F(x,y) < 1$。
• 举例：若$x$或$y$为负无穷，则$F(-\infty,y)=0$或$F(x,-\infty)=0$，显然不等于1。

选项B

$F(-\infty,-\infty)=0$

• 正确：当$x$和$y$均趋于负无穷时，事件“$X \leq x$且$Y \leq y$”的概率为0，符合分布函数的边界条件。

选项C

$F_Y(y)=F(+\infty,y)$

• 正确：边缘分布函数$F_Y(y)$表示$Y \leq y$的概率，此时$X$可以取任意值（即$x$趋于正无穷），因此$F_Y(y)=F(+\infty,y)$。

选项D

$F_X(x)=F(x,+\infty)$

• 正确：边缘分布函数$F_X(x)$表示$X \leq x$的概率，此时$Y$可以取任意值（即$y$趋于正无穷），因此$F_X(x)=F(x,+\infty)$。