题目
20.（判断题）提示：把特解代入方程中，如果满足，那就是一个特解，否则就不是特解。微分方程y'=(y(1-x))/(x),y|_(x=1)=1的特解为y=x+e^1-x。A. 对B. 错
20.（判断题）提示：把特解代入方程中，如果满足，那就是一个特解，否则就不是特解。微分方程$y'=\frac{y(1-x)}{x}$,$y|_{x=1}=1$的特解为$y=x+e^{1-x}$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：求导数
给定的特解为 $y = x + e^{1-x}$，首先计算其导数 $y'$。
$$
y' = \frac{d}{dx}(x + e^{1-x}) = 1 - e^{1-x}
$$
步骤 2：代入方程
将 $y'$ 和 $y$ 代入微分方程 $y' = \frac{y(1-x)}{x}$ 中，验证是否满足方程。
$$
1 - e^{1-x} = \frac{(x + e^{1-x})(1-x)}{x}
$$
化简右边：
$$
\frac{(x + e^{1-x})(1-x)}{x} = \frac{x(1-x) + e^{1-x}(1-x)}{x} = 1 - x + \frac{e^{1-x}}{x} - e^{1-x}
$$
步骤 3：比较两边
比较左边和右边的表达式，看是否恒等。
$$
1 - e^{1-x} = 1 - x + \frac{e^{1-x}}{x} - e^{1-x}
$$
化简得：
$$
0 = -x + \frac{e^{1-x}}{x}
$$
显然，这个等式不恒成立，因此给定的解不是微分方程的特解。
步骤 4：求通解
分离变量得：
$$
\frac{dy}{y} = \left( \frac{1}{x} - 1 \right)dx
$$
积分得：
$$
\ln|y| = \ln|x| - x + C
$$
解为：
$$
y = Cxe^{-x}
$$
步骤 5：应用初始条件
应用初始条件 $y|_{x=1} = 1$ 得：
$$
1 = Ce^{-1}
$$
解得 $C = e$，特解为：
$$
y = xe^{1-x}
$$
给定的特解为 $y = x + e^{1-x}$，首先计算其导数 $y'$。
$$
y' = \frac{d}{dx}(x + e^{1-x}) = 1 - e^{1-x}
$$
步骤 2：代入方程
将 $y'$ 和 $y$ 代入微分方程 $y' = \frac{y(1-x)}{x}$ 中，验证是否满足方程。
$$
1 - e^{1-x} = \frac{(x + e^{1-x})(1-x)}{x}
$$
化简右边：
$$
\frac{(x + e^{1-x})(1-x)}{x} = \frac{x(1-x) + e^{1-x}(1-x)}{x} = 1 - x + \frac{e^{1-x}}{x} - e^{1-x}
$$
步骤 3：比较两边
比较左边和右边的表达式，看是否恒等。
$$
1 - e^{1-x} = 1 - x + \frac{e^{1-x}}{x} - e^{1-x}
$$
化简得：
$$
0 = -x + \frac{e^{1-x}}{x}
$$
显然，这个等式不恒成立，因此给定的解不是微分方程的特解。
步骤 4：求通解
分离变量得：
$$
\frac{dy}{y} = \left( \frac{1}{x} - 1 \right)dx
$$
积分得：
$$
\ln|y| = \ln|x| - x + C
$$
解为：
$$
y = Cxe^{-x}
$$
步骤 5：应用初始条件
应用初始条件 $y|_{x=1} = 1$ 得：
$$
1 = Ce^{-1}
$$
解得 $C = e$，特解为：
$$
y = xe^{1-x}
$$