题目

一质点沿 ox 轴运动，其加速度与时间的关系为 a = 3 + 2t (SI)，如质点的初速度为 5 , (m/s)，求 t = 3 , (s) 时质点的速度。

一质点沿 $ox$ 轴运动，其加速度与时间的关系为 $a = 3 + 2t$ ($SI$)，如质点的初速度为 $5 \, \text{m/s}$，求 $t = 3 \, \text{s}$ 时质点的速度。

题目解答

答案

根据加速度 $ a = 3 + 2t $，可得： \[ v(t) = v_0 + \int_{0}^{t} (3 + 2t) \, dt = v_0 + 3t + t^2 \] 将 $ v_0 = 5 \, \text{m/s} $ 代入，得： \[ v(t) = 5 + 3t + t^2 \] 当 $ t = 3 \, \text{s} $ 时： \[ v(3) = 5 + 3 \times 3 + 3^2 = 5 + 9 + 9 = 23 \, \text{m/s} \] 最终结果为： \[ v(3) = 23 \, \text{m/s} \]

解析

本题考查的是加速度与速度的关系，解题的关键在于利用加速度是速度对时间的导数这一物理关系，通过积分运算求出速度随时间的变化函数，再将给定时间代入函数求出该时刻的速度。

  1. 首先明确加速度与速度的关系：加速度$a$是速度$v$对时间$t$的导数，即$a = \frac{dv}{dt}$，那么速度$v$就是加速度$a$对时间$t$的积分。已知加速度$a = 3 + 2t$，所以速度$v(t)$可以表示为$v(t) = v_0 + \int_{0}^{t} (3 + 2t) \, dt$，其中$v_0$是初速度。
  2. 然后对$\int_{0}^{t} (3 + 2t) \, dt$进行积分运算：
    • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对于$\int 3dt$，因为$n = 0$，所以$\int 3dt=3t+C_1$；对于$\int 2tdt$，$n = 1$，则$\int 2tdt=2\times\frac{1}{2}t^2+C_2=t^2+C_2$。
    • 那么$\int_{0}^{t} (3 + 2t) \, dt=\left[3t + t^2\right]_0^t=(3t + t^2)-(3\times0 + 0^2)=3t + t^2$。
    • 所以$v(t) = v_0 + 3t + t^2$。
  3. 接着将初速度$v_0 = 5 \, \text{m/s}$代入上式，得到$v(t) = 5 + 3t + t^2$。
  4. 最后求$t = 3 \, \text{s}$时的速度$v(3)$：
    • 把$t = 3$代入$v(t) = 5 + 3t + t^2$，可得$v(3)=5 + 3\times3 + 3^2$。
    • 先计算乘法：$3\times3 = 9$，$3^2 = 9$。
    • 再计算加法：$v(3)=5 + 9 + 9 = 23 \, \text{m/s}$。