题目

27.单选题 设F(s)=(2s^2-4)/((s-3)(s-2)(s+1))，则mathcal(L)^-1[F(s)]=（）. A. -(1)/(6)te^-t+(4)/(3)e^2t+(7)/(2)te^3t; B. -(1)/(2)e^-t-(4)/(3)e^2t+(7)/(2)e^3t; C. -(1)/(6)t^2e^-t+(4)/(3)te^2t+(7)/(2)e^3t; D. -(1)/(6)e^-t-(4)/(3)e^2t+(7)/(2)e^3t.

27.单选题 设$F(s)=\frac{2s^{2}-4}{(s-3)(s-2)(s+1)}$，则$\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right]=（）$.
A. $-\frac{1}{6}te^{-t}+\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{7}{2}te^{3t}$;
B. $-\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{7}{2}e^{3t}$;
C. $-\frac{1}{6}t^{2}e^{-t}+\frac{4}{3}te^{2t}+\frac{7}{2}e^{3t}$;
D. $-\frac{1}{6}e^{-t}-\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{7}{2}e^{3t}$.

题目解答

答案

为了找到 $ F(s) = \frac{2s^2 - 4}{(s-3)(s-2)(s+1)} $ 的逆拉普拉斯变换，我们首先需要对 $ F(s) $ 进行部分分式分解。我们假设： \[ F(s) = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s-2} + \frac{C}{s+1} \] 为了找到常数 $ A $，$ B $，和 $ C $，我们首先将右边的项合并到一个共同的分母上： \[ F(s) = \frac{A(s-2)(s+1) + B(s-3)(s+1) + C(s-3)(s-2)}{(s-3)(s-2)(s+1)} \] 由于分母相同，我们将分子相等： \[ 2s^2 - 4 = A(s-2)(s+1) + B(s-3)(s+1) + C(s-3)(s-2) \] 接下来，我们展开右边的每一项： \[ A(s-2)(s+1) = A(s^2 - s - 2) = As^2 - As - 2A \] \[ B(s-3)(s+1) = B(s^2 - 2s - 3) = Bs^2 - 2Bs - 3B \] \[ C(s-3)(s-2) = C(s^2 - 5s + 6) = Cs^2 - 5Cs + 6C \] 将这些展开式合并，我们得到： \[ 2s^2 - 4 = (A + B + C)s^2 + (-A - 2B - 5C)s + (-2A - 3B + 6C) \] 现在，我们将方程两边 $ s $ 的相应幂次的系数相等： 1. $ s^2 $ 的系数： $ A + B + C = 2 $ 2. $ s $ 的系数： $ -A - 2B - 5C = 0 $ 3. 常数项： $ -2A - 3B + 6C = -4 $ 我们解这个线性方程组。从第一个方程，我们有： \[ C = 2 - A - B \] 将 $ C $ 代入第二个方程： \[ -A - 2B - 5(2 - A - B) = 0 \] \[ -A - 2B - 10 + 5A + 5B = 0 \] \[ 4A + 3B - 10 = 0 \] \[ 3B = 10 - 4A \] \[ B = \frac{10 - 4A}{3} \] 将 $ B $ 和 $ C $ 代入第三个方程： \[ -2A - 3\left(\frac{10 - 4A}{3}\right) + 6(2 - A - \frac{10 - 4A}{3}) = -4 \] \[ -2A - (10 - 4A) + 6\left(2 - A - \frac{10 - 4A}{3}\right) = -4 \] \[ -2A - 10 + 4A + 6\left(2 - A - \frac{10 - 4A}{3}\right) = -4 \] \[ 2A - 10 + 6\left(2 - A - \frac{10 - 4A}{3}\right) = -4 \] 简化括号内的项： \[ 2A - 10 + 6\left(\frac{6 - 3A - (10 - 4A)}{3}\right) = -4 \] \[ 2A - 10 + 6\left(\frac{6 - 3A - 10 + 4A}{3}\right) = -4 \] \[ 2A - 10 + 6\left(\frac{A - 4}{3}\right) = -4 \] \[ 2A - 10 + 2(A - 4) = -4 \] \[ 2A - 10 + 2A - 8 = -4 \] \[ 4A - 18 = -4 \] \[ 4A = 14 \] \[ A = \frac{7}{2} \] 将 $ A = \frac{7}{2} $ 代回 $ B $ 的方程： \[ B = \frac{10 - 4 \cdot \frac{7}{2}}{3} = \frac{10 - 14}{3} = \frac{-4}{3} \] 将 $ A = \frac{7}{2} $ 和 $ B = -\frac{4}{3} $ 代回 $ C $ 的方程： \[ C = 2 - \frac{7}{2} - \left(-\frac{4}{3}\right) = 2 - \frac{7}{2} + \frac{4}{3} = \frac{12}{6} - \frac{21}{6} + \frac{8}{6} = -\frac{1}{6} \] 因此，部分分式分解为： \[ F(s) = \frac{7/2}{s-3} + \frac{-4/3}{s-2} + \frac{-1/6}{s+1} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{s-3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{s-2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s+1} \] $ F(s) $ 的逆拉普拉斯变换为： \[ \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{7}{2} e^{3t} - \frac{4}{3} e^{2t} - \frac{1}{6} e^{-t} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

考查要点：本题主要考查拉普拉斯变换的逆变换计算，特别是通过部分分式分解法将有理分式分解为简单分式之和，进而利用标准拉普拉斯变换对求解。

解题核心思路：

  1. 部分分式分解：将分母因式分解后，假设原式可分解为三个简单分式的和，通过比较分子多项式系数确定各部分的常数。
  2. 逆变换求解：根据拉普拉斯变换表，将分解后的每个简单分式转换为对应的时域函数。

破题关键点：

  • 正确设定部分分式形式，确保分母因式分解正确。
  • 建立并求解方程组，准确计算各部分的系数。
  • 匹配标准拉普拉斯变换对，注意指数函数的底数与分母的根对应。

部分分式分解

设 $F(s) = \frac{2s^2 - 4}{(s-3)(s-2)(s+1)}$，假设其部分分式形式为：
$F(s) = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s-2} + \frac{C}{s+1}$

将右边通分后与原式分子比较，得到：
$2s^2 - 4 = A(s-2)(s+1) + B(s-3)(s+1) + C(s-3)(s-2)$

展开并整理右边多项式：
$\begin{aligned}A(s^2 - s - 2) + B(s^2 - 2s - 3) + C(s^2 - 5s + 6) &= (A + B + C)s^2 + (-A - 2B - 5C)s + (-2A - 3B + 6C)\end{aligned}$

比较系数得方程组：
$\begin{cases}A + B + C = 2 \\-A - 2B - 5C = 0 \\-2A - 3B + 6C = -4\end{cases}$

解方程组

  1. 由第一式得 $C = 2 - A - B$。
  2. 代入第二式：
    $-A - 2B - 5(2 - A - B) = 0 \implies 4A + 3B = 10$
  3. 代入第三式：
    $-2A - 3B + 6(2 - A - B) = -4 \implies -8A - 9B = -16$
  4. 联立解得：
    $A = \frac{7}{2}, \quad B = -\frac{4}{3}, \quad C = -\frac{1}{6}$

逆变换计算

分解结果为：
$F(s) = \frac{7/2}{s-3} - \frac{4/3}{s-2} - \frac{1/6}{s+1}$

根据拉普拉斯变换表：
$\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right] = e^{at}$

因此：
$\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{7}{2}e^{3t} - \frac{4}{3}e^{2t} - \frac{1}{6}e^{-t}$