27.(1992,3分)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望 (X+(e)^-2X)= __

考查要点：本题主要考查指数分布的性质及数学期望的线性性质，需要掌握指数分布的概率密度函数、期望计算，以及如何计算函数的期望。

解题核心思路：

1. 分解问题：将复合期望分解为两个部分，即 $E(X)$ 和 $E(e^{-2X})$，再利用线性性质相加。
2. 直接计算：
   • 指数分布的期望：参数为1的指数分布的期望已知为1。
   • 函数的期望：通过积分计算 $E(e^{-2X})$，利用指数函数与指数分布密度函数的乘积简化积分。

破题关键点：

• 指数分布的密度函数：$f(x) = e^{-x}$（$x \geq 0$）。
• 积分技巧：$\int_{0}^{\infty} e^{-ax} dx = \frac{1}{a}$（$a > 0$）。

步骤1：计算 $E(X)$
指数分布的参数为1，其期望公式为：
$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1} = 1.$

步骤2：计算 $E(e^{-2X})$
根据期望的定义：
$E(e^{-2X}) = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cdot e^{-x} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx.$
利用积分公式 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} dx = \frac{1}{a}$，得：
$E(e^{-2X}) = \frac{1}{3}.$

步骤3：合并结果
根据数学期望的线性性质：
$E(X + e^{-2X}) = E(X) + E(e^{-2X}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$