设向量组 alpha_1 = (1,1,1), alpha_2 = (0,1,2), alpha_3 = (1,0,-1)，那么该向量组的秩为:A. 2B. 4C. 3D. 1

考查要点：本题主要考查向量组的秩的计算，需要掌握矩阵的行变换法求秩，以及极大线性无关组的概念。

解题核心思路：将向量组作为列向量构成矩阵，通过行变换化为阶梯形矩阵，非零行的数量即为向量组的秩。

破题关键点：

1. 构造矩阵：将向量组按列排列成矩阵。
2. 行变换化阶梯形：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，观察非零行的数量。
3. 判断秩：非零行的数量即为向量组的秩。

将向量组 $\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(0,1,2)$，$\alpha_3=(1,0,-1)$ 作为列向量构成矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\1 & 2 & -1\end{pmatrix}$

步骤1：初等行变换

• 第一行为主元行，用第一行消去下方第一列的元素：

  • 第二行变为 $R_2 - R_1 = (0, 1, -1)$
  • 第三行变为 $R_3 - R_1 = (0, 2, -2)$
    矩阵变为：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

• 第二行为主元行，用第二行消去下方第二列的元素：

  • 第三行变为 $R_3 - 2R_2 = (0, 0, 0)$
    矩阵最终化为阶梯形：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

步骤2：确定秩
阶梯形矩阵有 2个非零行，因此向量组的秩为 2。