题目
复数 z=1-sqrt(3)i 的三角表示式为()。A. 2(cos(pi)/(3)+isin(pi)/(3))B. 2(cos(pi)/(6)+isin(pi)/(6))C. 2(cos(pi)/(6)-sin(pi)/(6))D. 2[cos(-(pi)/(3))+isin(-(pi)/(3))]
复数 $z=1-\sqrt{3}i$ 的三角表示式为()。
A. $2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$
B. $2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$
C. $2(\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6})$
D. $2[\cos(-\frac{\pi}{3})+i\sin(-\frac{\pi}{3})]$
题目解答
答案
复数 $ z = 1 - \sqrt{3}i $ 的模为:
$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$
幅角 $ \theta $ 满足:
$\tan \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
由于 $ z $ 在第四象限,幅角为 $ \theta = -\frac{\pi}{3} $(或 $ \theta = \frac{5\pi}{3} $,但通常取主值)。
因此,三角表示式为:
$z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$
对应选项 D。
答案: $\boxed{D}$