设 f(x, y) 连续，则 int_(0)^1 dx int_(0)^x^2 f(x, y)dy + int_(1)^3 dx int_(0)^(1)/(2)(3-x) f(x, y)dy = ( ).A. int_(0)^1 dy int_(0)^sqrt(y) f(x, y)dxB. int_(0)^1 dy int_(x^2)^(1)/(2)(3-x) f(x, y)dxC. int_(0)^1 dy int_(sqrt(y))^3-2y f(x, y)dxD. int_(0)^1 dy int_(0)^y^2 f(x, y)dx + int_(1)^3 dy int_(0)^(1)/(2)(3-y) f(x, y)dx

本题考查二重积分交换积分次序的知识点。解题的关键在于根据已知的积分限确定积分区域，然后再根据新的积分次序重新确定积分限。

步骤一：分析第一个积分$\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x^2} f(x, y)dy$所对应的积分区域$D_1$

• 对于$\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x^2} f(x, y)dy$，积分变量的范围为$0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant x^2$。
• 由$y = x^2$可得$x=\sqrt{y}$（因为$x\geqslant0$），所以积分区域$D_1$是由$x = 0$，$x = 1$，$y = 0$和$y = x^2$所围成的区域。

步骤二：分析第二个积分$\int_{1}^{3} dx \int_{0}^{\frac{1}{2}(3 - x)} f(x, y)dy$所对应的积分区域$D_2$

• 对于$\int_{1}^{3} dx \int_{0}^{\frac{1}{2}(3 - x)} f(x, y)dy$，积分变量的范围为$1\leqslant x\leqslant 3$，$0\leqslant y\leqslant \frac{1}{2}(3 - x)$。
• 由$y=\frac{1}{2}(3 - x)$可得$x = 3 - 2y$，所以积分区域$D_2$是由$x = 1$，$x = 3$，$y = 0$和$y=\frac{1}{2}(3 - x)$所围成的区域。

步骤三：确定总的积分区域$D = D_1\cup D_2$

• 联立$\begin{cases}y = x^2\\y=\frac{1}{2}(3 - x)\end{cases}$，将$x=\sqrt{y}$代入$y=\frac{1}{2}(3 - x)$得$2y=3-\sqrt{y}$，即$(\sqrt{y})^2+\sqrt{y}-3 = 0$，令$t=\sqrt{y}$，则$t^2 + t - 3 = 0$，解得$t=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，因为$t\geqslant0$，所以$t=\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$，$y=\frac{13 - 2\sqrt{13}+1}{4}=\frac{14 - 2\sqrt{13}}{4}=\frac{7-\sqrt{13}}{2}\approx1$（取近似值方便分析）。
• 当交换积分次序为$dy$在前，$dx$在后时，$y$的范围是$0\leqslant y\leqslant 1$。
• 对于固定的$y$，$x$的下限是$x=\sqrt{y}$（来自$D_1$），上限是$x = 3 - 2y$（来自$D_2$）。

步骤四：写出交换积分次序后的二重积分

根据上述分析，交换积分次序后可得$\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{3 - 2y} f(x, y)dx$。