题目

注 类似地，求极限lim_(xto0)(ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2))/(x^4).2.“(infty)/(infty)”型极限

注 类似地， 求极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^{2})}{x^{4}}.$ 2.“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限

题目解答

答案

利用泰勒展开式： \[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5), \] \[ \ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5), \] \[ \ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6). \] 计算乘积并保留至 $x^4$ 项： \[ \ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5). \] 相减得： \[ \ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) = \frac{x^4}{12} + O(x^5). \] 求极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2)}{x^4} = \boxed{\frac{1}{12}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的能力，需要掌握常见函数的泰勒展开式及其乘积展开方法。

解题核心思路：

  1. 泰勒展开：将分子中的$\ln(1+x)$、$\ln(1-x)$和$\ln(1-x^2)$分别展开到足够高的阶数（至少$x^4$项）。
  2. 乘积展开：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$的乘积，保留到$x^4$项。
  3. 相减化简：将乘积结果与$\ln(1-x^2)$展开式相减，提取$x^4$项的系数。
  4. 求极限：分子化简后为$x^4$的倍数，分母为$x^4$，直接取系数比值得到极限。

破题关键点：

  • 展开式的正确性：确保每个函数的泰勒展开式正确，特别是符号和系数。
  • 乘积展开的精度：必须展开到$x^4$项，避免遗漏低阶项的组合贡献。
  • 高阶项的处理：在相减过程中，正确抵消低阶项，准确提取$x^4$项的系数。

步骤1：展开各函数的泰勒多项式

  1. $\ln(1+x)$展开到$x^4$项：
    $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5).$
  2. $\ln(1-x)$展开到$x^4$项：
    $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5).$
  3. $\ln(1-x^2)$展开到$x^4$项：
    $\ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6).$

步骤2：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$的乘积
将两多项式相乘，保留到$x^4$项：
$\begin{aligned}\ln(1+x)\ln(1-x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right) \\&= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5).\end{aligned}$

步骤3：计算分子$\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2)$
将乘积结果与$\ln(1-x^2)$相减：
$\begin{aligned}&\left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right) \\&= \left(-x^2 + x^2\right) + \left(-\frac{5}{12}x^4 + \frac{1}{2}x^4\right) \\&= \frac{x^4}{12} + O(x^5).\end{aligned}$

步骤4：求极限
分子为$\frac{x^4}{12} + O(x^5)$，分母为$x^4$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + O(x^5)}{x^4} = \frac{1}{12}.$