13.10 理想气体由初态(p0,V0)经准静态过程绝热膨胀至末态(p,V),求此过程中气-|||-体做的功.

考查要点：本题主要考查理想气体在准静态绝热过程中的做功计算，需要掌握绝热过程方程和做功积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 绝热过程方程：$PV^r = \text{常数}$（$r = \frac{C_p}{C_v}$），利用此方程将压强$P$表示为体积$V$的函数。
2. 做功公式：$A = \int_{V_0}^{V} P \, dV$，通过代入$P(V)$并积分求解。
3. 代数变形：将积分结果转化为题目答案中给出的形式，需灵活运用绝热过程关系式进行化简。

破题关键点：

• 正确表达$P(V)$：由$PV^r = P_0 V_0^r$得$P = P_0 \frac{V_0^r}{V^r}$。
• 积分计算：对$V^{-r}$积分时注意指数运算规则。
• 结果整理：通过代数变形将结果与题目答案形式匹配。

步骤1：写出绝热过程方程

理想气体在准静态绝热过程中满足：
$PV^r = P_0 V_0^r \quad \text{（其中$r = \frac{C_p}{C_v}$）}$

步骤2：表达压强$P$为体积$V$的函数

由上述方程可得：
$P = P_0 \frac{V_0^r}{V^r}$

步骤3：代入做功积分公式

气体所做的功为：
$A = \int_{V_0}^{V} P \, dV = \int_{V_0}^{V} P_0 \frac{V_0^r}{V^r} \, dV$

步骤4：计算积分

积分结果为：
$A = P_0 V_0^r \int_{V_0}^{V} V^{-r} \, dV = P_0 V_0^r \left[ \frac{V^{1-r}}{1-r} \right]_{V_0}^{V}$

步骤5：代入上下限并化简

$A = \frac{P_0 V_0^r}{1-r} \left( V^{1-r} - V_0^{1-r} \right)$

步骤6：利用绝热过程关系式进一步化简

由$PV^r = P_0 V_0^r$得$P_0 V_0^r = PV^r$，代入上式：
$A = \frac{PV^r}{1-r} \left( V^{1-r} - V_0^{1-r} \right) = \frac{PV - P_0 V_0}{r-1}$