题目
若区域D: x^2 + y^2 leq 4，则二重积分iint_(D) e^x^(2 + y^2) , dx , dy=(）.A. 2pi(e^4 - 1)B. 2pi(e^2 - 1)C. pi(e^2 - 1)D. pi(e^4 - 1)
若区域$D: x^{2} + y^{2} \leq 4$，则二重积分$\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} \, dx \, dy=$(）.
A. $2\pi(e^{4} - 1)$
B. $2\pi(e^{2} - 1)$
C. $\pi(e^{2} - 1)$
D. $\pi(e^{4} - 1)$
题目解答
答案
D. $\pi(e^{4} - 1)$
解析
步骤 1：转换为极坐标
将二重积分转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且 $dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。积分变为： \[ \iint\limits_{D}e^{x^2+y^2}\,dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：使用换元法
令 $u = r^2$，则 $du = 2r\,dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du \, d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]
将二重积分转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且 $dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。积分变为： \[ \iint\limits_{D}e^{x^2+y^2}\,dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：使用换元法
令 $u = r^2$，则 $du = 2r\,dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du \, d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]