题目
在施特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围d=10cm，磁极中心到屏的距离D=25cm．如果银原子的速率为400m/s，线束在屏上的分裂间距为2.0mm，试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2，质量为107.87u．
在施特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围d=10cm，磁极中心到屏的距离D=25cm．如果银原子的速率为400m/s，线束在屏上的分裂间距为2.0mm，试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2，质量为107.87u．
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定银原子的角动量量子数
银原子的基态为2S1/2，这意味着其角动量量子数为 $I=0$，自旋量子数为 $s=\dfrac{1}{2}$，总角动量量子数为 $j=\dfrac{1}{2}$，磁量子数为 ${m}_{j}=\pm \dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算银原子的磁矩
银原子的磁矩 $\mu$ 可以通过公式 $\mu = g \mu_B m_j$ 计算，其中 $g$ 是朗德因子，$\mu_B$ 是玻尔磁子，$m_j$ 是磁量子数。对于银原子，$g=2$，$\mu_B = 9.274 \times 10^{-24} J/T$，$m_j = \pm \dfrac{1}{2}$，因此 $\mu = \pm 9.274 \times 10^{-24} J/T$。
步骤 3：计算银原子在磁场中的能量差
银原子在磁场中的能量差 $\Delta E$ 可以通过公式 $\Delta E = \mu \Delta B$ 计算，其中 $\Delta B$ 是磁场强度的梯度值。由于银原子的速率为400m/s，因此其动能为 $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$，其中 $m$ 是银原子的质量，$v$ 是银原子的速率。银原子的质量为107.87u，因此 $m = 107.87 \times 1.66054 \times 10^{-27} kg$。因此，$E_k = \dfrac{1}{2} \times 107.87 \times 1.66054 \times 10^{-27} kg \times (400 m/s)^2 = 1.41 \times 10^{-20} J$。由于银原子在磁场中的能量差 $\Delta E$ 等于其动能 $E_k$，因此 $\Delta E = 1.41 \times 10^{-20} J$。
步骤 4：计算磁场强度的梯度值
磁场强度的梯度值 $\dfrac{\Delta B}{\partial z}$ 可以通过公式 $\Delta z = 2 \mu g \dfrac{\partial B}{\partial z} \dfrac{dD}{v^2}$ 计算，其中 $\Delta z$ 是线束在屏上的分裂间距，$g$ 是朗德因子，$\mu$ 是银原子的磁矩，$\dfrac{\partial B}{\partial z}$ 是磁场强度的梯度值，$d$ 是磁极的纵向范围，$D$ 是磁极中心到屏的距离，$v$ 是银原子的速率。因此，$\dfrac{\Delta B}{\partial z} = \dfrac{\Delta z v^2}{2 \mu g d D}$。将 $\Delta z = 2.0 mm = 2.0 \times 10^{-3} m$，$v = 400 m/s$，$\mu = 9.274 \times 10^{-24} J/T$，$g = 2$，$d = 10 cm = 0.1 m$，$D = 25 cm = 0.25 m$ 代入公式，得到 $\dfrac{\Delta B}{\partial z} = \dfrac{2.0 \times 10^{-3} m \times (400 m/s)^2}{2 \times 9.274 \times 10^{-24} J/T \times 2 \times 0.1 m \times 0.25 m} = 1.2 \times 10^{2} T/m$。
银原子的基态为2S1/2，这意味着其角动量量子数为 $I=0$，自旋量子数为 $s=\dfrac{1}{2}$，总角动量量子数为 $j=\dfrac{1}{2}$，磁量子数为 ${m}_{j}=\pm \dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算银原子的磁矩
银原子的磁矩 $\mu$ 可以通过公式 $\mu = g \mu_B m_j$ 计算，其中 $g$ 是朗德因子，$\mu_B$ 是玻尔磁子，$m_j$ 是磁量子数。对于银原子，$g=2$，$\mu_B = 9.274 \times 10^{-24} J/T$，$m_j = \pm \dfrac{1}{2}$，因此 $\mu = \pm 9.274 \times 10^{-24} J/T$。
步骤 3：计算银原子在磁场中的能量差
银原子在磁场中的能量差 $\Delta E$ 可以通过公式 $\Delta E = \mu \Delta B$ 计算，其中 $\Delta B$ 是磁场强度的梯度值。由于银原子的速率为400m/s，因此其动能为 $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$，其中 $m$ 是银原子的质量，$v$ 是银原子的速率。银原子的质量为107.87u，因此 $m = 107.87 \times 1.66054 \times 10^{-27} kg$。因此，$E_k = \dfrac{1}{2} \times 107.87 \times 1.66054 \times 10^{-27} kg \times (400 m/s)^2 = 1.41 \times 10^{-20} J$。由于银原子在磁场中的能量差 $\Delta E$ 等于其动能 $E_k$，因此 $\Delta E = 1.41 \times 10^{-20} J$。
步骤 4：计算磁场强度的梯度值
磁场强度的梯度值 $\dfrac{\Delta B}{\partial z}$ 可以通过公式 $\Delta z = 2 \mu g \dfrac{\partial B}{\partial z} \dfrac{dD}{v^2}$ 计算，其中 $\Delta z$ 是线束在屏上的分裂间距，$g$ 是朗德因子，$\mu$ 是银原子的磁矩，$\dfrac{\partial B}{\partial z}$ 是磁场强度的梯度值，$d$ 是磁极的纵向范围，$D$ 是磁极中心到屏的距离，$v$ 是银原子的速率。因此，$\dfrac{\Delta B}{\partial z} = \dfrac{\Delta z v^2}{2 \mu g d D}$。将 $\Delta z = 2.0 mm = 2.0 \times 10^{-3} m$，$v = 400 m/s$，$\mu = 9.274 \times 10^{-24} J/T$，$g = 2$，$d = 10 cm = 0.1 m$，$D = 25 cm = 0.25 m$ 代入公式，得到 $\dfrac{\Delta B}{\partial z} = \dfrac{2.0 \times 10^{-3} m \times (400 m/s)^2}{2 \times 9.274 \times 10^{-24} J/T \times 2 \times 0.1 m \times 0.25 m} = 1.2 \times 10^{2} T/m$。