题目
25.证明曲线积分int_((1,0))^(2,1)(2xy-y^4+3)dx+(x^2-4xy^3)dy在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值.【证】
25.证明曲线积分$\int_{(1,0)}^{(2,1)}(2xy-y^{4}+3)dx+(x^{2}-4xy^{3})dy$在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值.
【证】
题目解答
答案
1. **判断与路径无关**：
计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 4y^3, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 4y^3
\]
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，积分与路径无关。
2. **选择路径计算**：
**路径1**：从 $(1,0)$ 到 $(2,0)$ 再到 $(2,1)$
\[
\int_{(1,0)}^{(2,0)} 3 \, dx + \int_{(2,0)}^{(2,1)} (4 - 8y^3) \, dy = 3 + 2 = 5
\]
**路径2**：从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$ 再到 $(2,1)$
\[
\int_{(1,0)}^{(1,1)} 0 \, dy + \int_{(1,1)}^{(2,1)} (2x + 2) \, dx = 0 + 5 = 5
\]
**答案**：
\[
\boxed{5}
\]
解析
步骤 1：判断与路径无关
计算偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 4y^3, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 4y^3 \] 由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，积分与路径无关。
步骤 2：选择路径计算
**路径1**：从 $(1,0)$ 到 $(2,0)$ 再到 $(2,1)$ \[ \int_{(1,0)}^{(2,0)} 3 \, dx + \int_{(2,0)}^{(2,1)} (4 - 8y^3) \, dy = 3 + 2 = 5 \] **路径2**：从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$ 再到 $(2,1)$ \[ \int_{(1,0)}^{(1,1)} 0 \, dy + \int_{(1,1)}^{(2,1)} (2x + 2) \, dx = 0 + 5 = 5 \]
计算偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 4y^3, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 4y^3 \] 由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，积分与路径无关。
步骤 2：选择路径计算
**路径1**：从 $(1,0)$ 到 $(2,0)$ 再到 $(2,1)$ \[ \int_{(1,0)}^{(2,0)} 3 \, dx + \int_{(2,0)}^{(2,1)} (4 - 8y^3) \, dy = 3 + 2 = 5 \] **路径2**：从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$ 再到 $(2,1)$ \[ \int_{(1,0)}^{(1,1)} 0 \, dy + \int_{(1,1)}^{(2,1)} (2x + 2) \, dx = 0 + 5 = 5 \]