题目
简答题（共3题，30.0分）28.（10.0分）求向量组α_(1)=(1,2,3),α_(2)=(2,3,1),α_(3)=(3,1,2)的秩和一个极大无关组.
简答题（共3题，30.0分）
28.（10.0分）求向量组$α_{1}=(1,2,3)$,$α_{2}=(2,3,1)$,$α_{3}=(3,1,2)$的秩和一个极大无关组.
题目解答
答案
将向量组写成矩阵 $A$：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
进行行初等变换化为行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -5 \\
0 & 0 & 18
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
或计算行列式：
\[
\det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) = -18 \neq 0
\]
**答案：**
秩为3，极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
解析
考查要点：本题主要考查向量组的秩和极大无关组的求解方法，需要掌握矩阵的行简化阶梯形（行最简形）或行列式法判断向量组的线性相关性。
解题核心思路：
- 秩的定义：向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。
- 关键方法：
- 矩阵法：将向量组按列排列成矩阵，通过行初等变换化为行最简形，非零行数即为秩；
- 行列式法：若向量组构成的矩阵行列式非零，则向量组线性无关，秩等于向量个数。
- 破题关键：通过矩阵的秩或行列式判断向量组是否线性无关，进而确定极大无关组。
将向量组按列排列成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
方法一：行初等变换法
- 初等行变换：
- 第二行减 $2$ 倍第一行：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$，得 $R_2 = (0, -1, -5)$；
- 第三行减 $3$ 倍第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$，得 $R_3 = (0, -5, -7)$；
- 第三行加 $5$ 倍第二行：$R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2$，得 $R_3 = (0, 0, 18)$；
- 第二行乘以 $-1$：$R_2 \leftarrow -R_2$，第三行除以 $18$：$R_3 \leftarrow \frac{1}{18}R_3$，最终化为行最简形：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- 结论：非零行数为 $3$，故秩为 $3$，极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
方法二：行列式法
计算矩阵 $A$ 的行列式：
$\det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) = -18 \neq 0$
结论：行列式非零，向量组线性无关，秩为 $3$，极大无关组为全部向量。