(2)设f(x)=sin x，要使f(x)为某随机变量X的概率密度，则X的可能取值的区间为 ( ).A. [π,(3)/(2)π];B. [(3)/(2)π,2π];C. [0,π];D. [0,(π)/(2)].

概率密度函数的两个核心条件：

1. 非负性：在定义区间内，函数值必须非负（$f(x) \geq 0$）。
2. 归一性：函数在定义区间上的积分等于1（$\int_a^b f(x) \, dx = 1$）。

解题关键：

• 排除法：先通过非负性排除明显不符合的选项，再验证剩余选项的归一性。
• 积分计算：需准确计算正弦函数在不同区间上的积分值。

选项分析

选项A：$[\pi, \frac{3}{2}\pi]$

• 非负性：在区间$[\pi, \frac{3}{2}\pi]$内，$\sin x \leq 0$（例如$\sin \pi = 0$，$\sin \frac{3}{2}\pi = -1$），不满足非负性。
• 结论：排除选项A。

选项B：$[\frac{3}{2}\pi, 2\pi]$

• 非负性：在区间$[\frac{3}{2}\pi, 2\pi]$内，$\sin x \leq 0$（例如$\sin \frac{3}{2}\pi = -1$，$\sin 2\pi = 0$），不满足非负性。
• 结论：排除选项B。

选项C：$[0, \pi]$

• 非负性：在区间$[0, \pi]$内，$\sin x \geq 0$，满足非负性。
• 归一性：计算积分$\int_0^\pi \sin x \, dx = 2 \neq 1$，不满足归一性。
• 结论：排除选项C。

选项D：$[0, \frac{\pi}{2}]$

• 非负性：在区间$[0, \frac{\pi}{2}]$内，$\sin x \geq 0$，满足非负性。
• 归一性：计算积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1$，满足归一性。
• 结论：选项D正确。