15.lim_(xto+infty)ln(1+2^x)ln(1+(2)/(x))=____.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换和对数函数的性质进行近似展开的能力。

解题核心思路：
当$x \to +\infty$时，分析两个对数函数的主导项：

1. $\ln(1+2^x)$：当$x$很大时，$2^x$远大于1，因此$\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$。
2. $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$：当$x$很大时，$\frac{2}{x}$趋近于0，利用等价无穷小$\ln(1+y) \approx y$（其中$y = \frac{2}{x}$），得$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$。
   将两部分相乘后，$x$约去，最终结果为常数。

步骤1：近似展开$\ln(1+2^x)$

当$x \to +\infty$时，$2^x$远大于1，因此：
$\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2.$

步骤2：近似展开$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)$

当$x \to +\infty$时，$\frac{2}{x} \to 0$，利用等价无穷小$\ln(1+y) \approx y$（其中$y = \frac{2}{x}$）：
$\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}.$

步骤3：相乘并求极限

将两部分相乘：
$\ln(1+2^x) \cdot \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2.$
因此，原极限为：
$\lim_{x\to+\infty} \ln(1+2^{x})\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2 = \ln 4.$