题目

【题目】-|||-求下列不定积分:-|||-int dfrac (x+2)({x)^2sqrt (1-{x)^2}}dx ;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式积分、三角代换法以及基本积分公式的应用。

解题核心思路：

  1. 三角代换：分母中的$\sqrt{1-x^2}$提示使用$x = \sin t$代换，将根号简化为$\cos t$，从而将积分转化为关于$t$的三角函数积分。
  2. 拆分积分：将分子$x+2$拆分后，分别对$\frac{1}{\sin t}$和$\frac{1}{\sin^2 t}$进行积分，利用标准积分公式求解。
  3. 变量回代：将积分结果中的三角函数表达式转换回原变量$x$，得到最终答案。

破题关键点：

  • 正确选择代换：通过$x = \sin t$简化根号结构。
  • 拆分积分项：将分子拆分为$x$和$2$，分别对应不同的积分形式。
  • 准确应用积分公式：熟练掌握$\int \csc t \, dt$和$\int \csc^2 t \, dt$的结果。

步骤1：三角代换
令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。代入原积分：
$\begin{aligned}\int \frac{x+2}{x^2 \sqrt{1-x^2}} dx &= \int \frac{\sin t + 2}{\sin^2 t \cdot \cos t} \cdot \cos t \, dt \\&= \int \frac{\sin t + 2}{\sin^2 t} dt.\end{aligned}$

步骤2：拆分积分项
将积分拆分为两部分：
$\int \frac{\sin t}{\sin^2 t} dt + \int \frac{2}{\sin^2 t} dt = \int \frac{1}{\sin t} dt + 2 \int \frac{1}{\sin^2 t} dt.$

步骤3：逐项积分

  1. 第一项：$\int \frac{1}{\sin t} dt = \int \csc t \, dt = \ln |\csc t - \cot t| + C_1$。
  2. 第二项：$\int \frac{1}{\sin^2 t} dt = \int \csc^2 t \, dt = -\cot t + C_2$。

步骤4：合并结果
将两部分结果合并：
$\ln |\csc t - \cot t| - 2 \cot t + C.$

步骤5：变量回代
由$x = \sin t$得：

  • $\csc t = \frac{1}{\sin t} = \frac{1}{x}$，
  • $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$。

代入后结果为：
$\ln \left| \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right| - \frac{2\sqrt{1-x^2}}{x} + C.$