设f(x)在f(x)上连续，在f(x)内可导，且f(x)，证明至少存在一个f(x)，使得f(x)

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数$g(x)={e}^{x}(2-f(x))$，其中$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=2$。

步骤 2：验证辅助函数的性质
由于$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，因此$g(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。

步骤 3：计算辅助函数的导数
计算$g(x)$的导数$g'(x)={e}^{x}(2-f(x)-f'(x))$。

步骤 4：应用罗尔定理
由于$g(0)={e}^{0}(2-f(0))=0$，$g(1)={e}^{1}(2-f(1))=0$，根据罗尔定理，至少存在一个$\xi \in (0,1)$，使得$g'(\xi )=0$。

步骤 5：推导出$f'(\xi )+f(\xi )=2$
由$g'(\xi )=0$，得到${e}^{\xi }(2-f(\xi )-f'(\xi ))=0$，由于${e}^{\xi } \neq 0$，因此$2-f(\xi )-f'(\xi )=0$，即$f'(\xi )+f(\xi )=2$。