1-11 质点沿直线运动,加速度 =4-(t)^2, 式中a-|||-的单位为 :(s)^-2, t的单位为s.如果当 t=3s 时, x=-|||-9m, =2mcdot (s)^-1, 求质点的运动方程.

考查要点：本题主要考查变加速直线运动中，如何通过加速度函数求解速度和位置函数，涉及积分运算及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 积分法：根据加速度对时间积分得到速度函数，再对速度函数积分得到位置函数。
2. 初始条件代入：利用题目中给出的初始时刻（t=3s）的速度和位置值，确定积分常数。

破题关键点：

• 正确积分：注意积分时各项的系数和符号，尤其是高次项的积分。
• 代入初始条件：两次积分后分别代入已知条件，求出积分常数，确保函数的唯一性。

步骤1：求速度函数

已知加速度函数 $a(t) = 4 - t^2$，根据定义 $a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$，对加速度积分：
$v(t) = \int (4 - t^2) \, \mathrm{d}t = 4t - \frac{t^3}{3} + C$
代入初始条件 $t=3$ 时 $v=2$：
$2 = 4 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} + C \implies 2 = 12 - 9 + C \implies C = -1$
因此，速度函数为：
$v(t) = 4t - \frac{t^3}{3} - 1$

步骤2：求位置函数

对速度函数积分得到位置函数：
$x(t) = \int \left(4t - \frac{t^3}{3} - 1\right) \, \mathrm{d}t = 2t^2 - \frac{t^4}{12} - t + D$
代入初始条件 $t=3$ 时 $x=9$：
$9 = 2 \cdot 3^2 - \frac{3^4}{12} - 3 + D \implies 9 = 18 - 6.75 - 3 + D \implies D = 0.75 = \frac{3}{4}$
因此，位置函数为：
$x(t) = 2t^2 - \frac{t^4}{12} - t + \frac{3}{4}$