题目

图示为一具有球对称性分布的静电场的E-r关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的（ )A.半径为R的均匀带电球面B.半径为R的均匀带电球体C.半径为R、电荷体密度=Ar(A为常数)的非均匀带电球体D.半径为R、电荷体密度=(A为常数)的非均匀带电球体

图示为一具有球对称性分布的静电场的E-r关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的（ )

A.半径为R的均匀带电球面

B.半径为R的均匀带电球体

C.半径为R、电荷体密度 $\rho$ =Ar(A为常数)的非均匀带电球体

D.半径为R、电荷体密度 $\rho$ = $\frac{A}{r}$ (A为常数)的非均匀带电球体

题目解答

答案

A.均匀带电球面，在半径小于R的区域不存在电场，故A错误；

B.均匀带电球体，设电荷体密度为 $\rho$ ，则半径

为r(r<R) 球面内电荷q= $\frac{4}{3}\pi r^3$

由高斯定理得 $E\bullet4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$ ，

解得E= $\frac{\rho}{3\varepsilon_0}r$

即E $\propto$ r，故B错误；

C.若为非均匀带电球体，在球面内半径为r(r<R)处取厚度为dr的球壳，体积元为dV=4 $\pi$ $r^2$ dr球壳内的电荷dq== $\rho\bullet$ 4 $\pi$ $r^2$ dr

球面内的电荷为

$\sum_{ }^{ }q_i=\int_0^rdq=\int_0^r4\pi Ar^3dr=\pi Ar^4$

由高斯定理有 $E\bullet4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{ }^{ }q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}\pi Ar^4$

解得E= $\frac{A}{4\varepsilon_0}r^2$

即E $\propto r^2$ ，在球面外(r＞R)

由高斯定理有 $E\bullet4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}$

解得E= $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$

即E $\propto\frac{1}{r^2}$ ，故C正确；

D.若为非均匀带电球体，在球面内半径为r(r<R)处取厚度为dr的球壳，体积元为dV=4 $\pi r^2$ dr球壳内的电荷dq== $\rho\bullet$ 4 $\pi$ $r^2$ dr=4 $\pi$ Ardr

球面内的电荷为

$\sum_{ }^{ }q_i=\int_0^rdq=\int_0^r4\pi Ardr=2\pi Ar^2$

由高斯定理有 $E\bullet4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{ }^{ }q_i=\frac{2}{\varepsilon_0}\pi Ar^2$

解得E= $\frac{A}{2\varepsilon_0}$ ，故D错误。

故选：C。

解析

步骤 1：分析均匀带电球面的电场分布
均匀带电球面在球面内部的电场强度为零，而在球面外部的电场强度与距离球心的距离成反比，即$E \propto \frac{1}{r^2}$。因此，选项A不符合题意。

步骤 2：分析均匀带电球体的电场分布
均匀带电球体在球体内部的电场强度与距离球心的距离成正比，即$E \propto r$，而在球体外部的电场强度与距离球心的距离成反比，即$E \propto \frac{1}{r^2}$。因此，选项B不符合题意。

步骤 3：分析非均匀带电球体的电场分布
对于非均匀带电球体，电荷体密度为$\rho = Ar$，其中A为常数。在球体内部，电场强度与距离球心的距离的平方成正比，即$E \propto r^2$，而在球体外部的电场强度与距离球心的距离成反比，即$E \propto \frac{1}{r^2}$。因此，选项C符合题意。

步骤 4：分析另一种非均匀带电球体的电场分布
对于另一种非均匀带电球体，电荷体密度为$\rho = A$，其中A为常数。在球体内部，电场强度与距离球心的距离成正比，即$E \propto r$，而在球体外部的电场强度与距离球心的距离成反比，即$E \propto \frac{1}{r^2}$。因此，选项D不符合题意。