题目
1.7 一质点在xy平面上运动,运动函数为 =2t, =4(t)^2-8 (采用国际单位制)。-|||-(1)求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线;-|||-(2)求 _(1)=1s 和 _(2)=2s 时,质点的位置、速度和加速度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求轨道方程
由运动函数 $x=2t$ 和 $y=4{t}^{2}-8t$，可以消去时间变量 $t$，得到轨道方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=\frac{x}{2}$。将 $t=\frac{x}{2}$ 代入 $y=4{t}^{2}-8t$ 中，得到 $y=4(\frac{x}{2})^{2}-8(\frac{x}{2})$，化简得到轨道方程 $y={x}^{2}-8$。
步骤 2：求位置、速度和加速度
位置：质点的位置由 $x$ 和 $y$ 的值决定。在 ${t}_{1}=1s$ 时，$x=2t=2*1=2$，$y=4{t}^{2}-8t=4*1^{2}-8*1=-4$，所以位置为 $2\dot {i}-4\dot {j}$。在 ${t}_{2}=2s$ 时，$x=2t=2*2=4$，$y=4{t}^{2}-8t=4*2^{2}-8*2=8$，所以位置为 $4i+8j$。
速度：速度是位置对时间的导数。$x$ 对时间的导数为 $v_x=\frac{dx}{dt}=2$，$y$ 对时间的导数为 $v_y=\frac{dy}{dt}=8t-8$。在 ${t}_{1}=1s$ 时，$v_x=2$，$v_y=8*1-8=0$，所以速度为 $2\dot {i}+0\dot {j}$。在 ${t}_{2}=2s$ 时，$v_x=2$，$v_y=8*2-8=8$，所以速度为 $2\dot {i}+8\dot {j}$。
加速度：加速度是速度对时间的导数。$v_x$ 对时间的导数为 $a_x=\frac{dv_x}{dt}=0$，$v_y$ 对时间的导数为 $a_y=\frac{dv_y}{dt}=8$。在 ${t}_{1}=1s$ 和 ${t}_{2}=2s$ 时，加速度均为 $0\dot {i}+8\dot {j}$。
由运动函数 $x=2t$ 和 $y=4{t}^{2}-8t$，可以消去时间变量 $t$，得到轨道方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=\frac{x}{2}$。将 $t=\frac{x}{2}$ 代入 $y=4{t}^{2}-8t$ 中，得到 $y=4(\frac{x}{2})^{2}-8(\frac{x}{2})$，化简得到轨道方程 $y={x}^{2}-8$。
步骤 2：求位置、速度和加速度
位置：质点的位置由 $x$ 和 $y$ 的值决定。在 ${t}_{1}=1s$ 时，$x=2t=2*1=2$，$y=4{t}^{2}-8t=4*1^{2}-8*1=-4$，所以位置为 $2\dot {i}-4\dot {j}$。在 ${t}_{2}=2s$ 时，$x=2t=2*2=4$，$y=4{t}^{2}-8t=4*2^{2}-8*2=8$，所以位置为 $4i+8j$。
速度：速度是位置对时间的导数。$x$ 对时间的导数为 $v_x=\frac{dx}{dt}=2$，$y$ 对时间的导数为 $v_y=\frac{dy}{dt}=8t-8$。在 ${t}_{1}=1s$ 时，$v_x=2$，$v_y=8*1-8=0$，所以速度为 $2\dot {i}+0\dot {j}$。在 ${t}_{2}=2s$ 时，$v_x=2$，$v_y=8*2-8=8$，所以速度为 $2\dot {i}+8\dot {j}$。
加速度：加速度是速度对时间的导数。$v_x$ 对时间的导数为 $a_x=\frac{dv_x}{dt}=0$，$v_y$ 对时间的导数为 $a_y=\frac{dv_y}{dt}=8$。在 ${t}_{1}=1s$ 和 ${t}_{2}=2s$ 时，加速度均为 $0\dot {i}+8\dot {j}$。