题目

4.设n阶方阵A可逆，证明A的伴随矩阵A^*也可逆，并求(A^*)^-1.

4.设n阶方阵A可逆，证明A的伴随矩阵$A^{*}$也可逆，并求$(A^{*})^{-1}$.

题目解答

答案

设 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，即 $\det(A) \neq 0$。由伴随矩阵性质，有 $AA^* = A^*A = \det(A)I$。
两边同除以 $\det(A)$，得：
$\frac{1}{\det(A)}AA^* = I \quad \Rightarrow \quad A^* \left( \frac{1}{\det(A)}A \right) = I$
同理，$\left( \frac{1}{\det(A)}A \right) A^* = I$。
因此，$(A^*)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A$。

结论：
$A^*$ 可逆，且 $(A^*)^{-1} = \boxed{\frac{A}{\det(A)}}$。

解析

本题考查可逆矩阵的定义以及伴随矩阵的性质。解题的关键思路是利用伴随矩阵与原矩阵的关系公式，结合可逆矩阵的定义来证明伴随矩阵可逆并求出其逆矩阵。

  1. 首先明确已知条件：
    • 已知$n$阶方阵$A$可逆，根据可逆矩阵的定义，可逆矩阵的行列式不为$0$，所以$\det(A)\neq0$。
    • 伴随矩阵有重要性质$AA^{*}=A^{*}A = \det(A)I$，其中$I$是$n$阶单位矩阵。
  2. 然后根据可逆矩阵的定义来证明$A^{*}$可逆并求其逆矩阵：
    • 可逆矩阵的定义为：对于矩阵$B$，如果存在矩阵$C$，使得$BC = CB=I$，则称$B$可逆，且$B^{-1}=C$。
    • 对$AA^{*}=\det(A)I$两边同时除以$\det(A)$（因为$\det(A)\neq0$，所以可以进行除法运算），得到$\frac{1}{\det(A)}AA^{*}=I$。
    • 根据矩阵乘法的结合律，$\frac{1}{\det(A)}AA^{*}=A^{*}\left(\frac{1}{\det(A)}A\right)$，所以$A^{*}\left(\frac{1}{\det(A)}A\right)=I$。
    • 同理，对$A^{*}A=\det(A)I$两边同时除以$\det(A)$，得到$\left(\frac{1}{\det(A)}A\right)A^{*}=I$。
    • 由可逆矩阵的定义可知，因为存在矩阵$\frac{1}{\det(A)}A$，使得$A^{*}\left(\frac{1}{\det(A)}A\right)=\left(\frac{1}{\det(A)}A\right)A^{*}=I$，所以$A^{*}$可逆，且$(A^{*})^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A=\frac{A}{\det(A)}$。