16.设有非齐次线性方程组-|||- ) (x)_(1)+lambda (x)_(2)+(x)_(3)=lambda , (x)_(1)+2lambda (x)_(2)+(x)_(3)=2lambda (x)_(1)+2(x)_(2)+lambda (x)_(3)=2. .-|||-问λ取何值时,此方程组:(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?并-|||-在有无穷多解时求其通解.

步骤 1：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵的形式，得到：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \lambda & 1 & \lambda \\
1 & 2\lambda & 1 & 2\lambda \\
1 & 2 & \lambda & 2
\end{array}\right]
$$

步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \lambda & 1 & \lambda \\
0 & \lambda & 0 & \lambda \\
0 & 2-\lambda & \lambda-1 & 2-\lambda
\end{array}\right]
$$
进一步化简：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \lambda & 1 & \lambda \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & \lambda-1 & 0
\end{array}\right]
$$

步骤 3：分析方程组的解
根据阶梯形矩阵，分析方程组的解的情况：
- 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq 1$ 时，方程组有唯一解。
- 当 $\lambda = 0$ 时，方程组有无穷多解。
- 当 $\lambda = 1$ 时，方程组有无穷多解。

步骤 4：求无穷多解时的通解
- 当 $\lambda = 0$ 时，方程组化简为：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right]
$$
解得：
$$
\begin{cases}
x_1 = -x_3 \\
x_2 = 1 \\
x_3 = 0
\end{cases}
$$
通解为：
$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$
- 当 $\lambda = 1$ 时，方程组化简为：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
解得：
$$
\begin{cases}
x_1 = 1 - x_2 - x_3 \\
x_2 = 1 \\
x_3 = t
\end{cases}
$$
通解为：
$$
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$