5.已知二维随机变量X,Y的联合概率密度为f(x,y)={}6(1-y),0<10,其它.则P(X<(1)/(2),Y<(1)/(2))的概率密度为____。

本题考查二维随机变量的概率计算，解题思路是根据联合概率密度函数，通过对指定区域进行二重积分来计算概率。
已知二维随机变量$X$，$Y$的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}6(1 - y),&0 < x < y < 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$，要求$P(X < \frac{1}{2},Y < \frac{1}{2})$，需要在区域$0 < x < y < \frac{1}{2}$上对联合概率密度函数$f(x,y)$进行二重积分。

1. 首先确定积分表达式：
   • 根据二维随机变量概率的计算公式$P((X,Y)\in D)=\iint_{D}f(x,y)dxdy$，这里$D$为$0 < x < y < \frac{1}{2}$，所以$P(X < \frac{1}{2},Y < \frac{1}{2})=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{y}6(1 - y)dxdy$。
2. 然后对$x$进行积分：
   • 对于$\int_{0}^{y}6(1 - y)dx$，因为$6(1 - y)$与$x$无关，可将其看作常数提到积分号外，根据积分公式$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），则$\int_{0}^{y}6(1 - y)dx=6(1 - y)\int_{0}^{y}dx=6(1 - y)\cdot x\big|_{0}^{y}=6y(1 - y)$。
3. 最后对$y$进行积分：
   • 对于$\int_{0}^{\frac{1}{2}}6y(1 - y)dy$，先将被积函数展开$6y(1 - y)=6y-6y^{2}$。
   • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，则$\int_{0}^{\frac{1}{2}}(6y - 6y^{2})dy=6\int_{0}^{\frac{1}{2}}y dy-6\int_{0}^{\frac{1}{2}}y^{2}dy$。
   • $6\int_{0}^{\frac{1}{2}}y dy=6\times\frac{y^{2}}{2}\big|_{0}^{\frac{1}{2}} = 3y^{2}\big|_{0}^{\frac{1}{2}}=3\times(\frac{1}{2})^{2}-3\times0^{2}=\frac{3}{4}$。
   • $6\int_{0}^{\frac{1}{2}}y^{2}dy=6\times\frac{y^{3}}{3}\big|_{0}^{\frac{1}{2}} = 2y^{3}\big|_{0}^{\frac{1}{2}}=2\times(\frac{1}{2})^{3}-2\times0^{3}=\frac{1}{4}$。
   • 所以$\int_{0}^{\frac{1}{2}}6y(1 - y)dy=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。