题目
(2) dfrac (dy)(dx)=yln dfrac (y)(x);
题目解答
答案
解析
步骤 1：将原方程转换为可分离变量的形式
原方程为 $x\dfrac {dy}{dx}=y\ln \dfrac {y}{x}$，可以改写为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$。这是一个齐次微分方程，可以通过变量替换来解决。
步骤 2：引入变量替换
令 $u=\dfrac {y}{x}$，则 $y=ux$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，得到 $y'=u'x+u$。将 $y'$ 代入原方程，得到 $u'x+u=u\ln u$。
步骤 3：分离变量并求解
将方程 $u'x+u=u\ln u$ 重新整理为 $u'x=u\ln u-u$，即 $\dfrac {du}{dx}\cdot x=u(\ln u-1)$。分离变量得到 $\dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\dfrac {1}{x}dx$。对两边同时积分，得到 $\int \dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\int \dfrac {1}{x}dx$。
步骤 4：求解积分
左边的积分可以通过换元法求解，令 $v=\ln u-1$，则 $dv=\dfrac {1}{u}du$。因此，左边的积分变为 $\int \dfrac {1}{v}dv=\ln |v|+C_1=\ln |\ln u-1|+C_1$。右边的积分直接求解得到 $\ln |x|+C_2$。因此，有 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 5：求解 $u$ 并代回原变量
从 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+C$ 可以得到 $|\ln u-1|=e^{\ln |x|+C}=|x|e^C$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $|\ln u-1|=C'x$，其中 $C'=e^C$。因此，$\ln u-1=\pm C'x$，即 $\ln u=\pm C'x+1$。因此，$u=e^{\pm C'x+1}$。代回 $u=\dfrac {y}{x}$，得到 $\dfrac {y}{x}=e^{\pm C'x+1}$，即 $y=x\cdot e^{\pm C'x+1}$。
原方程为 $x\dfrac {dy}{dx}=y\ln \dfrac {y}{x}$，可以改写为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$。这是一个齐次微分方程，可以通过变量替换来解决。
步骤 2：引入变量替换
令 $u=\dfrac {y}{x}$，则 $y=ux$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，得到 $y'=u'x+u$。将 $y'$ 代入原方程，得到 $u'x+u=u\ln u$。
步骤 3：分离变量并求解
将方程 $u'x+u=u\ln u$ 重新整理为 $u'x=u\ln u-u$，即 $\dfrac {du}{dx}\cdot x=u(\ln u-1)$。分离变量得到 $\dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\dfrac {1}{x}dx$。对两边同时积分，得到 $\int \dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\int \dfrac {1}{x}dx$。
步骤 4：求解积分
左边的积分可以通过换元法求解，令 $v=\ln u-1$，则 $dv=\dfrac {1}{u}du$。因此，左边的积分变为 $\int \dfrac {1}{v}dv=\ln |v|+C_1=\ln |\ln u-1|+C_1$。右边的积分直接求解得到 $\ln |x|+C_2$。因此，有 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 5：求解 $u$ 并代回原变量
从 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+C$ 可以得到 $|\ln u-1|=e^{\ln |x|+C}=|x|e^C$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $|\ln u-1|=C'x$，其中 $C'=e^C$。因此，$\ln u-1=\pm C'x$，即 $\ln u=\pm C'x+1$。因此，$u=e^{\pm C'x+1}$。代回 $u=\dfrac {y}{x}$，得到 $\dfrac {y}{x}=e^{\pm C'x+1}$，即 $y=x\cdot e^{\pm C'x+1}$。